Решим дифференциальное уравнение: \(e^{x+y}dx+ydy=0\)
Решение:
Определение: уравнение вида $$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$ называется уравнением с разделяющимися переменными (линейное однородное уравнение). Решается методом переноса в разные части уравнения переменных (разделяем переменные), т.е. получаем уравнение $$ \frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$$
Уравнение в задании является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные уравнения $$ e^{x+y}dx+ydy=0=> e^xe^ydx+ydy = 0 =>$$ переносим все члены с переменной \( y \) в одну часть уравнения, а с \(x \) в другую. Нужно помнить, что при делении возможно появление особых решений (например знаменатель равен 0), которые нужно проверять отдельно. Получим $$ e^xe^ydx = -ydy => e^xdx = -\frac{y}{e^y}dy => $$ интегрируем правую и левую части уравнения $$\int e^xdx = -\int \frac{y}{e^y}dy => e^x = - \int \frac{y}{e^y}dy \quad (1)$$ находим интеграл \(\int \frac{y}{e^y}dy\)
применим формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\)
\(u = y => dy = dy\), \(dv = e^{-y}dy => v = -e^{-y}\), получаем $$\int \frac{y}{e^y}dy = \int ye^{-y}dy = -y*e^{-y} + \int e^{-y}dy = $$$$ = -y*e^{-y} - e^{-y} +C = -e^{-y}(y+1) +C $$ подставляем в (1) $$e^x = - \int \frac{y}{e^y}dy => e^x = e^{-y}(y+1) +C$$ Полученное решение можно преобразовать, используя W-Функцию Ламберта \(z = W(z)e^{W(z)}\). проведем преобразования $$ e^x = e^{-y}(y+1) +C => e^x - C= e^{-y}(y+1) =>$$$$ e^x - C= -e^{-y}(-y-1) => e^x - C= -e^{-y-1}(-y-1)*e =>$$$$ -\frac{e^x - C}{e}= e^{-y-1}(-y-1) =>$$ из определения следует, что W-Функция Ламберта равна $$ W(-\frac{e^x - C}{e}) = -y-1 => y = -W(-\frac{e^x - C}{e}) - 1$$
Ответ: \( y = -W(-\frac{e^x - C}{e}) - 1\)
