Задание: Случайная величина Х имеет равномерное распределение вероятностей. Найдите плотность вероятности, если математическое ожидание случайной величины Х равно \(M(X) = 8\), а дисперсия равна \(D(X) = \frac{1}{3}\)
Решение: Распределение вероятностей случайной величины \(X\) называется равномерным на отрезке \([\alpha;\beta]\), если плотность вероятностей этой величины постоянна на данном отрезке и равна $$p(x) = \begin{cases}\frac{1}{\beta - \alpha} & x \in [\alpha;\beta]\\0 & x \notin [\alpha;\beta]\end{cases} \quad (1)$$
Найдем плотность вероятности
Таким образом, согласно определения, чтобы найти плотность вероятностей, нужно найти границы интервала \([\alpha;\beta]\)
Математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке, есть середина отрезка и рассчитывается по формуле $$M(X) = \frac{\beta + \alpha}{2}$$
Дисперсия случайной величины, равномерно распределенной на отрезке рассчитывается по формуле $$D(X) = \frac{ (\beta-\alpha)^2}{12}$$
Составим систему уравнений и решим ее, учтем, что согласно условия \(M(X) = 8, \quad D(X) = \frac{1}{3}\) $$ \begin{cases}\frac{\beta+\alpha}{2} =8\\ \frac{ (\beta-\alpha)^2}{12} = \frac{1}{3}\end{cases}=> \begin{cases} \beta + \alpha = 16\\ \beta- \alpha = 2 \end{cases}=> \begin{cases}\beta = 9\\ \alpha = 7\end{cases}$$ Подставляем в уравнение (1) $$p(x) = \begin{cases}\frac{1}{9 - 7} & x \in [7;9]\\0 & x \notin [7;9]\end{cases} = \begin{cases}\frac{1}{2} & x \in [7;9]\\0 & x \notin [7;9]\end{cases}$$
Ответ: плотность вероятности случайной величины X в интервал [7;9] равна \( p(X) = \begin{cases}\frac{1}{2} & x \in [7;9]\\0 & x \notin [7;9]\end{cases}\)
