Решение: исследуем ряд на сходимость \( \sum_1^\infty \frac{\ln(n)}{n( \ln^4(n)+1)}\).
Для исследования применим интегральный признак Коши:
Пусть задан числовой ряд \(u_1+u_2+u_3+...+u_n+... \), \((u_n > 0)\), членами которого является функция натурального аргумента, т.е \(u_n = f(n)\). Пускай \(f(x)\) - положительная непрерывная функция, которая монотонно убывает в интервале \([1;\infty)\) при \(x \to \infty\).
Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)\) сходится, если сходится несобственный интеграл \(\int_1^{\infty}f(x)dx\) и расходится, если расходится этот интеграл.
Исследование ряда на сходимость:
1. запишем функцию \(f(x)\) путем замены в формуле \(u_n = f(n) = \frac{\ln(n)}{n( \ln^4(n)+1)} \) натуральный аргумент \(n\) на непрерывный аргумент \(x\), получаем $$ f(x) = \frac{\ln(x)}{x( \ln^4(x)+1)} $$ Функция \(f(x)\) положительная и монотонно убывающая в интервале \([1;\infty)\), поэтому для исследования на сходимость можем применить интегральный признак сходимости Коши
2. применяем интегральный признак сходимости Коши
Найдем несобственный интеграл $$ \int_{1}^{\infty} \frac{\ln(x)}{x( \ln^4(x)+1)}dx = \lim_{b \to \infty}\int_{1}^{b} \frac{\ln(x)}{x( \ln^4(x)+1)}dx = $$ Применяем метод замены независимой переменной. Введем замену \( \ln^2(x) = u =>2 \ln(x) \frac{1}{x}dx = du\). Пересчитаем границы \(x = 1 => u = 0 \) и вторая граница \(x = \infty => u = \infty\) Подставляем замену $$ = \lim_{b \to \infty}\int_{0}^{b} \frac{1}{2}\frac{ 1}{u^2+1}du$$ применяем табличный интеграл \( \int \frac{1}{x^2+1}dx = arctg(x)+C\) , получаем $$ = \frac{1}{2} \lim_{b \to \infty} [ arctg(u)|_{0}^{b}] = \frac{1}{2} \lim_{b \to \infty} [ arctg(b) - arctg(0)] = $$$$ = \frac{1}{2} [ arctg( \infty) - 0] = \frac{\pi}{4} $$ Интеграл сходится, значит и ряд сходится.
Ответ: ряд \( \sum_1^\infty \frac{\ln(n)}{n( \ln^4(n)+1)} \) - сходится
