Найдем несобственный интеграл: \( \int_3^{+\infty}\frac{1}{x^2+x-2}dx \)
Решение: несобственным интегралом первого рода от функции \(f(x)\), непрерывной при \(a \leq x \leq \infty\) называется предел $$ \int_a^{\infty}f(x)dx = \lim_{b \to \infty}\int_a^bf(x)dx$$
Решаем. Проверим функцию на непрерывность на интервале \([3;\infty)\). Разрыв функции возможен в точках, в которых знаменатель равен нулю. Найдем корни квадратного уравнения \(x^2+x-2 = 0 => x_1 = -2; \quad x_2=1\). Оба корня не попадают в интервал интегрирования, поэтому подынтегральная функция определена и непрерывна во всех точках заданного интеграла \([3;\infty)\), соответственно, согласно определения несобственного интеграла получаем $$ \int_3^{+\infty}\frac{1}{x^2+x-2}dx= \lim_{b \to \infty} \int_{3}^{b}\frac{1}{x^2+x-2}dx = $$ знаменатель представим в виде произведения многочленов \(x^2+x-2 = (x+2)(x-1)\), а дробь как сумму двух дробей \(\frac{1}{x^2+x-2} = \frac{1}{(x+2)(x-1)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2})\), получаем $$ = \lim_{b \to \infty} \int_{3}^{b} \frac{1}{3}(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2})dx = \frac{1}{3} \lim_{b \to \infty} \int_{3}^{b} (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2})dx$$ Для нахождения интеграла применим табличный интеграл от обратной функции \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\) и применим формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \), получим $$ = \frac{1}{3}\lim_{b \to \infty} [\ln(x-1)-\ln(x+2)|_3^b] = \frac{1}{3}\lim_{b \to \infty} [\ln(\frac{x-1}{x+2})|_3^b] = $$$$ = \frac{1}{3}\lim_{b \to \infty} [\ln(\frac{b-1}{b+2}) - \ln(\frac{3-1}{3+2})]= \frac{1}{3}[\ln(1) - \ln(\frac{2}{5})] =$$$$ = \frac{1}{3}[0 - \ln(\frac{2}{5})] = -\frac{1}{3}\ln(\frac{2}{5}) = \frac{1}{3}\ln(\frac{5}{2})$$
Ответ: \( \int_3^{+\infty}\frac{1}{x^2+x-2}dx = \frac{1}{3}\ln(\frac{5}{2}) \)
