Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Даны координаты вершин треугольника A (-2;-4) B (-1;4) C(3;3) Найти : 1) уравнение сторон 2) угол


0 Голосов
Петро
Posted Май 13, 2015 by Петро
Категория: Школьная математика 9-11
Всего просмотров: 35871

Даны координаты вершин треугольника A (-2;-4) B (-1;4) C(3;3)
Найти : 
1) уравнение сторон 
2) угол В 
3) высоту ВD, проведенную на сторону АС 
4) медиану СМ, проведенную сторону АВ 
5) прямую проведенную через точку А параллельно стороне ВС 
6) длину высоты ВD

Теги: уравнение прямой, свойство перпендикулярных прямых, уравнения сторон треугольника

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Май 13, 2015 by Вячеслав Моргун

Решение:


1. Уравнения стороны AB треугольника.


Даны три вершины треугольника A(-2;-4), B(-1;4), C(3;3) , поэтому уравнения стороны будем искать при помощи формулы уравнения прямой, проходящей через две заданные точки \( \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (1) \) Подставляем координаты вершин:
уравнение стороны AB, при известных координатах вершины A(-2;-4), B(-1;4) $$ AB \quad \frac{x+2}{-1+2} = \frac{y+4}{4+4} => y = 8x +12 $$
Ответ: уравнение стороны \(AB\): \(y = 8x +12\) 


уравнение стороны BC, при известных координатах вершины B(-1;4), C(3;3) $$ BC \quad \frac{x+1}{3+1} = \frac{y-4}{3-4} => y = \frac{15}{4} - \frac{1}{4}x$$
Ответ: уравнение стороны \(BC\): \( y = \frac{15}{4} - \frac{1}{4}x\)  


уравнение стороны AC, при известных координатах вершины A(-2;-4), C(3;3)  $$ AC \quad \frac{x+2}{3+2} = \frac{y+4}{3+4} => y = \frac{7}{5}x -\frac{6}{5}$$ 
Ответ: уравнение стороны \(AC\): \(y =  \frac{7}{5}x -\frac{6}{5}\)   


уравнения стороны треугольника, уравнение высоты опущенной из вершины на сторону треугольника, уравнение медианы, длина высоты


2. Угол В
Угол B - угол между прямыми AB и BC  - \(\angle ABC = \beta \) будем искать по формуле  $$ tg \beta = |\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}| \quad (2)$$ где \(k_1,k_2\) - угловые коэффициенты прямых \(k_{AB} = 8 \quad k_{BC} = -\frac{1}{4} \), подставляем в (2) $$tg \beta = |\frac{ 8 + \frac{1}{4}}{1-8\frac{1}{4} }| = \frac{33}{4} => \beta \approx 83.09^0$$


Ответ: угол B между прямыми AB и BC равен \( \angle \beta  \approx 83.09^0\) 


3. Уравнение высоты BD, опущенной из вершины \(B\) на сторону \(AC\).


Высота BD опущена из вершины B на сторону AC, т.е. из условия известна одна координата точки B(-1;4) и направление - прямая перпендикулярна прямой AC. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: \(k_1 = -\frac{1}{k_2}\). Найдем угловой коэффициент \(k_1\) при \(k_2=k_{AC} = \frac{7}{5}\), получим \(k_{BD} = -\frac{1}{k_{BC}} = -  \frac{5}{7} \). Найдем уравнение прямой BD, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y - y_0 = k(x - x_0) \quad (3)$$ получим $$ y - 4 = -  \frac{5}{7}(x + 1) => y = \frac{23}{7} -\frac{5}{7}x$$
Ответ: уравнение высоты BD \( y = \frac{23}{7} -\frac{5}{7}x \)


4. Уравнение медианы СМ, проведенную на сторону АВ.


Уравнение медианы CM.
Для нахождения медианы CM есть координата одной точки C(3;3), а координаты второй точки прямой M найдем как координаты середины отрезка \(AB\), где A(-2;-4), B(-1;4) по формуле \( M(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2})\) => \( M(\frac{-2-1}{2};\frac{-4+4}{2}) \) => \( M( -\frac{3}{2}; 0) \)
Находим уравнение прямой \(CM\) по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки \(A\) и \(E\)  уравнение (1)$$ \frac{x-3}{-\frac{3}{2}-3}=\frac{y-3}{0-3} => y =  \frac{2}{3}x + 1$$
Ответ: уравнение медианы \( y =  \frac{2}{3}x + 1\) 


5. Уравнение прямой, проведенную через точку А параллельно стороне ВС.


Прямая проходит точку \(A\), т.е. из условия известна одна координата точки A(-2;-4) и направление - прямая параллельна прямой BC \( y =  \frac{15}{4} - \frac{1}{4}x\). Воспользуемся свойством угловых коэффициентов параллельных прямых: \(k_1 = k_2\). Найдем угловой коэффициент \(k_1\) при \(k_1 = k_2=k_{BC} =  - \frac{1}{4} \). Найдем уравнение прямой BC, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y - y_0 = k(x - x_0) \quad (3)$$ получим $$ y + 4 = - \frac{1}{4}(x + 2) => y = - \frac{1}{4}x - \frac{9}{2}$$ 
Ответ: уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельна прямой стороны BC \( y =  - \frac{1}{4}x - \frac{9}{2} \)


6. Длину высоты ВD


Длину высоту BD будем искать как расстояние от точки B до прямой AC по формуле $$ d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \quad (6)$$ где \((x_0;y_0)\) - координаты точки, а 
\(Ax_0+By_0+C =0\) - общее уравнение прямой, расстояние до которой ищется.
Приводим уравнение прямой \(AC\) к общему виду \( y =  \frac{7}{5}x -\frac{6}{5} => 7x -5y -6 = 0\), где \(A =7\), \(B = -5\), координаты точки B(-1;4) => \(x_0=-1;y_0=4\) подставляем в формулу (6) $$ d = \frac{|7*(-1) -5*4 -6|}{\sqrt{7^2+(-5)^2}} = \frac{33}{ \sqrt{74}} \approx 3,84$$
Ответ: длина высоты BD равна \(d  \approx 3,84\)