Как известно площадь прямоугольника равна \(S=a*b\). Что бы найти длины сторон прямоугольника при которых площадь будет максимальной необходимо получить зависимость \(S(a)\), зависимость площади от длины одной из сторон и найти производную и приравнять ее к 0 \(S`(a) =0\), т.е. найти экстремум. Это и будет наибольшим значением.
Приступим к решению: из условия задачи следует, что 76 см - периметр прямоугольника, который рассчитывается по следующей формуле \(P=2(a+b) => 76 = 2(a+b) => b=38-a\). Подставим полученную формулу в формулу площади $$S = a*b =>S =a *(38-a) =>S = 38a - a^2 $$Получили уравнение второй степени, коэффициент при \(b^2\) отрицательный, т.е. оси кривой направлены вниз, т.е. \(S`(a)=0\) - a - будет точкой максимумума, т.е площадь будет наибольшая $$S`(a)=(38a-a^2) =0 => 38-2a = 0 =>a = 19 , b=38-a=19$$Ответ наибольшая площадь будет при длине сторон \(a=18, b=19\)
