Из 8 бухгалтеров, 5 менеджеров и 5 научных сотрудников необходимо случайным отбором сформировать комитет. Какова вероятность того, что в комитете окажутся: 5 бухгалтеров, 2 менеджеров и 2 научный сотрудник?
Решение: Найдем вероятности случайных величин. Для этого применим формулу гипергеометрического распределения:
$$P_m = \frac{C_M^mC_A^aC_{N-M-A}^{n-m-a}}{C_N^n} \quad (1)$$ где
\(N\) - общее количество сотрудников \(N = 8+5+5=18\),
\(n\) - количество сотрудников, из которых нужно составить комитет \(n = 5+2+2=9\),
\(M\) - общее количество менеджеров \(M=5\),
\(m\) - количество менеджеров в комитете \(m = 2\)
\(A\) - общее количество бухгалтеров \(A=8\),
\(a\) - количество бухгалтеров в комитете \(a = 5\)
и последнее, это будут ученные
\(N-M-A\) - общее количество ученных \(N-M-A=18-8-5=5\)
\(n-m-a\) - количество ученных в комитете \(n-m-a=9-2-5=2\)
Получили
\(C_N^n = C_{18}^9\) - общее количество равновозможных выборок из числа сотрудников нужного числа членов комитета
\(C_M^m = C_{5}^2\) - количество равновозможных выборок из числа менеджеров нужного числа членов в комитет менеджеров
\(C_A^a = C_{8}^5\) - количество равновозможных выборок из числа бухгалтеров нужного числа членов в комитет бухгалтеров
\(C_{N-M-A}^{n-m-a} =C_{5}^2 \) - количество равновозможных выборок из числа ученых нужного числа членов в комитет ученых в комитет
Подставляем в формулу
$$P_m = \frac{C_M^mC_A^aC_{N-M-A}^{n-m-a}}{C_N^n} = \frac{C_{5}^{2}C_{8}^{5}C_{5}^{2}}{C_{18}^{9}}=$$$$ = \frac{5!}{2!3!}*\frac{8!}{5!3!}* \frac{5!}{2!3!}*\frac{9!9!}{18!} = 0.1152$$
Ответ: вероятность того, что в комитете окажутся: 5 бухгалтеров, 2 менеджеров и 2 научный сотрудник равна \(p = 0.1152\)
