Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость $$\int_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+4}dx$$

Найдем несобственный интеграл: $\int_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+4}dx$
Решение: несобственным интегралом первого рода от функции $f(x)$, непрерывной при $a \leq x \leq \infty$ называется предел

$$\int_a^{\infty}f(x)dx = \lim_{b \to \infty}\int_a^bf(x)dx$$  

Решаем. Подынтегральная функция определена и непрерывна во всех точках заданного интеграла $[0;\infty)$, соответственно, согласно определения несобственного интеграла получаем

$$\int_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+4}dx= \lim_{b \to \infty}  \int_{0}^{b}\frac{1}{x^2+4}dx =$$ для нахождения интеграла применим табличный интеграл арктангенса $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a}arctg( \frac{x}{a}) + C$ и применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)$, получим  $$=  \lim_{b \to \infty} (\frac{1}{2}arctg( \frac{x}{2})|_0^b) =$$ $$= \frac{1}{2} \lim_{b \to \infty}( arctg( \frac{x}{2})|_0^b) =  \frac{1}{2} [\lim_{b \to \infty} arctg( \frac{b}{2}) - arctg( \frac{0}{2})] =$$ $$= \frac{1}{2} ( arctg( \frac{\infty}{2}) - 0) = \frac{1}{2} \frac{ \pi}{2} = \frac{ \pi}{4}$$  
Ответ: $\int_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+4}dx =  \frac{ \pi}{4}$