Построим ряд распределения случайной величины - попадание в мишень. Нам необходимо установить связь между значениями случайной величины (попадание в мишень) и соответствующими вероятностями.
Для начала запишем вероятности попадания и промаха для каждого из стрелков
для первого стрелка - \(p_1=0,3\) - вероятность попадания в цель, \(q_1= 1 - p_1 = 0,7\) - вероятность промаха
для второго стрелка - \(p_2=0,6\) - вероятность попадания в цель, \(q_2= 1 - p_2 = 0,4\) - вероятность промаха
для второго стрелка - \(p_3=0,7\) - вероятность попадания в цель, \(q_3= 1 - p_3 = 0,3\) - вероятность промаха
Случайная величина может \(X\) принимать следующие значения:
\(x_0 = 0\) - никто из спортсменов не попал в мишень ,
\(x_1 =1\) - попали в одну из мишеней,
\(x_2=2\) - попали в две мишени,
\(x_3=3\) - попали в три мишени.
На основании полученных данных рассчитаем вероятности для каждой случайной величины и заполним таблицу - ряд распределения случайной величины
\(x_0 \) - никто из спортсменов не попал в мишень, т.е. находится совместное наступление событий - все спортсмены промахнулись \(P_0 = q_1*q_2*q_3 = 0,7*0,4*0,3 =0,084\)
\(x_1 \) - один из спортсменов попал в мишень, рассчитаем 3 вероятности - первый попал остальные промахнулись \(p_1*q_2*q_3\) + второй попал, остальные нет \(q_1*p_2*q_3\) + третий попал остальные нет \(q_1*q_2*p_3\), получили \(P_1 = p_1*q_2*q_3 + q_1*p_2*q_3 + q_1*q_2*p_3 = 0,3*0,4*0,3 + 0,7*0,6*0,3 + 0,7*0,4*0,7 = 0,358\)
\(x_2\) - два спортсмена попали в мишени, рассчитаем вероятность как и в предыдущем случае, только учтем, что в этот раз попали в 2 мишени \(P_2 = p_1*p_2*q_3 + p_1*q_2*p_3 + q_1*p_2*p_3 = 0,3*0,6*0,3 + 0,3*0,4*0,7 + 0,7*0,6*0,7 = 0,432\)
\(x_3\) - все спортсмены попали в мишени \(P_3 = p_1*p_2*p_3 = 0,3*0,6*0,7 = 0,126\) подставим полученные результаты в таблицу
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \\ x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\
\hline \\ q_1*q_2*q_3 = & p_1*q_2*q_3+ & p_1*p_2*q_3+ & p_1*p_2*p_3= \\ & q_1*p_2*q_3+ & p_1*q_2*p_3+ &\\
& q_1*q_2*q_3 =& q_1*p_2*p_3 = & \\ \hline \\ 0,084 & 0,358 & 0,432 & 0,126 \\ \hline \end{array}$$Проверим правильность построения ряда распределения случайной величины: сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна 1. Проверим это 0,084+0,358+0,432+0,126 = 1.Ряд распределения случайной величины построен правильно.
Найдем функцию распределения: функция распределения строится на основании ряда распределения с помощью выражения $$F(x) = \sum_{x_i < x}P(X = x_i)$$Сроим функцию распределения случайной величины.
1. При \(x \leq 0 \) \(F(x) = \sum_{x_i < 0}P(X = x_i) = 0\)
2. При \(0 < x \leq 1 \) \(F(x) = \sum_{x_i < 1}P(X = x_i) = P(X = 0) = 0,084 \)
3. При \(1 < x \leq 2 \) \(F(x) = \sum_{x_i < 2}P(X = x_i) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,084 + 0,358 = 0,442\)
4. При \(2 < x \leq 3 \) \(F(x) = \sum_{x_i < 3}P(X = x_i) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,084 + 0,358 + 0,432 = 0,874\)
5. При \(3 < x \) \(F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,084 + 0,358 + 0,432 + 0,126 = 1\)
График функции распределения представлен на рис. 1
Найдем математическое ожидание числа пораженных мишеней:
Математическим ожиданием \(M[X]\) случайной величины \(X\) называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений $$M[X] = \sum_{i=1}^{\infty}x_ip_i$$Найдем математическое ожидание $$M[X] = x_0*P_0 + x_1*P_1 + x_2*P_2 + x_3*P_3 = 0*0,084 + 1*0,358 + 2*0,432 + 3*0,126 = 1,6$$Математическое ожидание равно \(M[X]=1,6\) попадания в мишени.
Найдем среднее квадратичное отклонение числа пораженных мишеней:
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения величины от ее математического ожидания $$D[X] =M[(X-m_x)^2]$$для дискретной случайной величины дисперсия выражается суммой$$D[X] = \sum_{i=1}^n(x_i-m_x)^2P_i$$Дисперсия - характеристика рассеивания возможных значений случайной величины, но она имеет размерность квадрата случайной величины. Для большего удобства используют среднеквадратическое отклонение случайной величины \(X\) той же размерности что и \(X\) $$\sigma_x = \sqrt{D[X]} => \sigma_x = \sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-m_x)^2P_i}$$подставляем полученные данные $$\sigma_x = \sqrt{(x_0 - m_x)^2P_0 + (x_1 - m_x)^2P_1 + (x_2 - m_x)^2P_2 + (x_3 - m_x)^2P_3}$$$$\sigma_x = \sqrt{(0 - 1,6)^2*0,084 + (1 - 1,6)^20,358 + (2 - 1,6)^20,432 + (3 - 1,6)^20,126}$$$$\sigma_x = \sqrt{1,6^2*0,084 + 0,6^20,358 + 0,4^20,432 + 1,4^20,126} \approx 0,81$$
Найти вероятность того,что пораженных мишеней будет:
Указанные вероятности можно искать по разному. У нас есть функция распределения. На основании ее свойства и будем находить:
Вероятность появления случайной величины в интервале \([\alpha;\beta)\), равна разности значений функции распределения в концах интервала, т.е. $$P(\alpha \leq x < \beta) = F(\alpha) - F(\beta)$$ Смотрим рис.1
а)хотя бы одна;
Это значит, что необходимо найти вероятность, что промаха не будет, т.е. интервал будет \(([1;3) => P([1;3)) = P(3) - P(1) = 1 - 0,084 = 0.916\)
или воспользуемся данными ряда распределения случайной величины \(P = P_1+P_2+P_3 = 0,358 + 0,432 + 0,126 = 0,916\)
б)менее двух.
Это значит, будет 0 или 1 попадание , т.е. интервал будет \([0;1) => P([0;1)) = P(1) - P(0) = 0,442 - 0 = 0,442\)
или воспользуемся данными ряда распределения случайной величины \(P = P_0+P_1 = 0,084 + 0,358 = 0,442\)
