Решение: найдем площадь фигуры, ограниченную кривыми \( y = 2x-x^2+3 \) и \( y = x^2-4x+3 \)
Построим кривые:
1. \( y = 2x-x^2+3 \) - уравнение параболы с осями направленными вниз.
2. \( y = x^2-4x+3 \) - уравнение параболы с осями направленными вверх.
Строим рисунок:
Нужно найти площадь криволинейной фигуры \(ABCD\)
Вспомним геометрический смысл определенного интеграла: если фигура ограниченна кривыми \(y_1=g(x)\) и \(y_2=f(x)\), причем функция \(f(x) > g(x)\), то определенный интеграл \(S = \int_a^b[f(x) - g(x)]dx\) равен площади фигуры этой фигуры.
Согласно условия задачи \( y_2 = 2x - x^2+3; \quad y_1 = x^2-4x+3 \), тогда искомая площадь фигуры \(ABCD\) равна $$S_{ABCD} = \int_A^C( 2x - x^2+3 - (x^2-4x+3))dx = \int_A^C( 6x - 2x^2)dx $$ для нахождения интеграла нужно найти координаты x точек A и C. Это точки пересечения кривых, поэтому решим систему уравнений $$\begin{cases} y = 2x - x^2+3 \\ y = x^2-4x+3 \end{cases} => \begin{cases} 2x^2-6x = 0\\ y = x^2-4x+3 \end{cases} => \begin{cases} x_1=0; \quad x_2=3 \\ y_1= 3; \quad y_2 = 0 \end{cases}$$ Подставляем координаты \(x\) точек в интеграл $$S_{ABCD} = \int_0^3(6x - 2x^2)dx =$$ Для нахождения определенного интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница \(\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\), получаем $$ = 3x^2-\frac{2}{3}x^3|_0^3 = 27 - 18 = 9$$
Ответ: площадь фигуры, которая ограничена линиями \( y_2 = 2x - x^2+3; \quad y_1 = x^2-4x+3 \) равна \(S_{ABCD} = 9 \)
