Решение: найдем интеграл \(\int \frac{dx}{\sin^3(x) \cos(x)} \quad (1) \)
Находить интеграл будем методом замены независимой переменной. Введем замену \( ctg(x) = t => -\frac{1}{ \sin^2(x)}dx = dt\). Рассмотрим дробь подынтегрального выражения \( \frac{dx}{\sin^3(x) \cos(x)} = \frac{dx}{\sin^2(x)}* \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}\). Преобразуем дробь \(\frac{1}{\sin(x)\cos(x)} \) к \( ctg(x)\), проведем преобразования \( \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}\frac{ \cos(x)}{ \cos(x)} = ctg(x) \frac{1}{ \cos^2(x)}\). Применим формулу основного тригонометриченского тождества \(1 + tg^2(x) = \frac{1}{ \cos^2(x)} => 1 + \frac{1}{ ctg^2(x)} = \frac{1}{ \cos^2(x)}\). Подсатвляем в формулу (1), получаем $$ \int \frac{dx}{\sin^3(x) \cos(x)} = \int \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}\frac{dx}{\sin^2(x)} = $$$$ = \int ctg(x) \frac{1}{ \cos^2(x)}\frac{dx}{\sin^2(x)} = \int ctg(x) (1 + \frac{1}{ ctg^2(x)})\frac{dx}{\sin^2(x)} = $$ применяем замену $$ = - \int t (1 + \frac{1}{ t^2})dt = - \int (t + \frac{1}{ t})dt = -\frac{1}{2}t^2- \ln(t) + C = $$ применяем обратную замену \( t = ctg(x)\), получаем $$ = -\frac{1}{2} ctg^2(x)- \ln( ctg(x)) + C $$
Ответ: \(\int \frac{dx}{\sin^3(x) \cos(x)} = -\frac{1}{2} ctg^2(x)- \ln( ctg(x)) + C\)
