Найдем интеграл: \( \int \frac{x^7}{x^2-1}dx \)
Решение: Найдем неопределенный интеграл \( \int \frac{x^7}{x^2-1}dx \) находить его будем методом замены независимой переменной. Введем замену \(x^2-1=t => 2xdx = dt \quad x^2 = t+1\), подставляем $$ \int \frac{x^7}{x^2-1}dx = \int \frac{(x^2)^3}{x^2-1}xdx =$$$$ = \frac{1}{2}\int \frac{(t+1)^3}{t}dt =$$ применим формулу куба суммы \((a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^2\), получаем $$ = \frac{1}{2}\int \frac{t^3+3t^2+3t+1}{t}dt = \frac{1}{2}\int (t^2+3t+3+\frac{1}{t})dt = $$ применим формулы табличного интеграла степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\) и интеграла логарифма \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x)dx\), получаем $$ = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}t^3+\frac{3}{2}t^2+3t+\ln(t)) + C = $$ применяем обратную замену \( t = x^2-1\), получаем $$ = \frac{(x^2-1)^3}{6}+\frac{3}{4}(x^2-1)^2+\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}\ln(x^2-1) + C_1 =$$$$ = \frac{1}{12}(6x^2+3x^4+2x^6+6 \ln(-1+x^2)) + C_2$$
Ответ: \( \int \frac{x^7}{x^2-1}dx = \frac{1}{12}(6x^2+3x^4+2x^6+6 \ln(-1+x^2)) + C_2 \)
