Для решения задачи применим формулу Бернулли: если Вероятность P наступления события A в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях равна: $$P_n(k) = C_n^kP^k(1-p)^{n-k} \quad (1)$$
В нашей задаче вероятность наступления события \(A\) - извлеченный шар - белый равна \(P(A) = \frac{20%}{100%}=0,2\) при этом в условии указывается, что после испытания шар возвращают обратно, т.о. вероятность события постоянная, т.е. формулу Бернулли применят можно. По условию мы проводим 5 испытаний и необходимо найти вероятность того, что среди извлеченных шаров не менее 4-х белые, т.е. этих шаров может быть 4, 5. По формуле Бернулли найдем вероятности наступления событий \(P(A_4)\) - извлечено 4 шара и \(P(A_5)\) - извлечено 5 шаров. Согласно теоремы сложения вероятностей \(P(A_4+A_5)\) - вероятность того, что было извлечено не менее 4-х белых шаров (т.е. 4 или 5) равна \(P(A_4+A_5) = P(A_4) + P(A_5)\)
Решаем задачу по намеченному плану:
1. Найдем вероятность извлечения 4-х белых шаров. Число испытаний \(n = 5\), событие \(A\) - извлечен белый шар повторяется \(k = 4\) раза, вероятность события \(A\) \(P(A) = 0,2\). Подставляем полученные данные в формулу \((1)\)$$P_5(4)(A_4) = C_5^40,2^4(1-0,2)^{5-4} = \frac{5!}{4!1!}*0,2^4*0,8=5*0,0016*0,8=0,0064$$
2. Найдем вероятность извлечения 5-х белых шаров. Число испытаний \(n = 5\), событие \(A\) - извлечен белый шар повторяется \(k = 5\) раз, вероятность события \(A\) \(P(A) = 0,2\). Подставляем полученные данные в формулу \((1)\)$$P_5(5)(A_5) = C_5^50,2^5(1-0,2)^{5-5} = \frac{5!}{4!1!}*0,2^5=5*0,00032=0,0016$$
3. Найдем вероятность наступления события - извлечено не менее 4-х белых шаров $$P(A_4+A_5) = P(A_4) + P(A_5) = 0,0064 + 0,0016 = 0,008$$
Ответ: вероятность того,что среди извлеченных шаров будет не менее четырех белых, если процедуру повторяют пять раз равна \(P(A_4+A_5) = 0,008\)
