Найдем интеграл: \( \int_{0}^{4} \frac{dx}{(16+x^2)^\frac{3}{2}} \)
Решение: найдем интеграл \( \int_{0}^{4} \frac{dx}{(16+x^2)^\frac{3}{2}} \)
1. Найдем неопределенный интеграл $$ \int \frac{dx}{(16+x^2)^\frac{3}{2}} = \int (16+x^2)^{-\frac{3}{2}}dx $$ Это интеграл от биномиального дифференциала вида $$ \int x^m(a+bx^n)^pdx$$ будем решать применяя одну из подстановок Чебышева и сведем его к интегралу от рациональной функции.
Определим значения констант путем сравнения формулы задания с формулой интеграла от биномиального дифференциала \( m = 0; \quad a = 16; \quad b = 1; \quad n =2; \quad p = -\frac{3}{2} \). Проверим $$ \frac{m+1}{n} + p = \frac{0+1}{ 2} -\frac{3}{2} = -1 \in Z$$ получили целое число, т.е. имеем третий случай интегрированности биномиального дифференциала , т.е. нужно применить замену вида (третья подстановка Чебышева) $$ ax^{-n}+b = t^k$$где \(k\) - знаменатель дроби \(p\), т.е. \(k = 2\), получили замену $$ 16x^{-2}+1 = t^2 => x =\frac{4}{ \sqrt{t^2-1}}=> dx = -\frac{4x}{ (-1+x^2)^{\frac{3}{2}}}dt $$ Подставляем замену в интеграл $$ \int (16+x^2)^{-\frac{3}{2}}dx = -\int (16+\frac{16}{t^2-1})^{-\frac{3}{2}} \frac{4t}{ (t^2-1)^{\frac{3}{2}}}dt = $$$$ = -\int 16^{-\frac{3}{2}}(\frac{t^2 - 1 + 1}{t^2-1})^{-\frac{3}{2}} \frac{4t}{ (t^2-1)^{\frac{3}{2}}}dt = -\int \frac{1}{64}(\frac{t^2 - 1 }{t^2})^{\frac{3}{2}} \frac{4t}{ (t^2-1)^{\frac{3}{2}}}dt =$$$$ = -\int \frac{1}{16t^2}dt = \frac{1}{16t} = $$ применим обратную подстановку \( 16x^{-2}+1 = t^2 => t = \frac{ \sqrt{16+x^2}}{x}\) $$ = \frac{1}{16\frac{ \sqrt{16+x^2}}{x}} = \frac{x}{16\sqrt{16+x^2}}$$
2. применим формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \), получим $$ \int_{0}^{4} \frac{dx}{(16+x^2)^\frac{3}{2}} = \frac{x}{16\sqrt{16+x^2}}|_{0}^{4} = $$$$ = \frac{4}{16\sqrt{16+4^2}} - 0 = \frac{1}{16\sqrt{2}}$$
Ответ: \( \int_{0}^{4} \frac{dx}{(16+x^2)^\frac{3}{2}} = \frac{1}{16\sqrt{2}}\)
