Найдем интеграл: \( \int 2^8\sin^6(x)\cos^2(x)dx\)
Решение: данный интеграл относится к интегралу от тригонометрической функции вида \( \int \sin^m(x)\cos^n(x)dx\), где \(m;n\) четные, действительно, где \(n = 2; m = 4\). Интегралы этого вида решаются методом понижения степени, т.е. путем применения тригонометрических формул \( \cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2}; \quad \sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}; \quad \sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)\), получим $$ \int 2^8\sin^6(x)\cos^2(x)dx = \int 2^6\sin^4(x)[2^2\sin^2(x)\cos^2(x)]dx = $$ применим формулу синуса двойного угла \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\), получаем $$ = \int 2^6\sin^4(x)\sin^2(2x)dx = $$ применим формулу понижения степени \(\sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}\), получаем $$ = 2^6\int (\frac{1-\cos(2x)}{2})^2\sin^2(2x)dx = 2^4\int (1-\cos(2x))^2\sin^2(2x)dx = $$ откроем скобки $$ = 2^4 \int (1-2 \cos(2x)+ \cos^2(2x)) \sin^2(2x)dx = $$$$ =2^4 \int ( \sin^2(2x)-2 \cos(2x) \sin^2(2x)+ \cos^2(2x) \sin^2(2x))dx = $$ применим формулы понижения степени $$ = 2^4 \int (\frac{1-\cos(4x)}{2}-\sin(4x)\sin(2x) + \frac{1}{4}\sin^2(4x))dx = $$ применим формулу произведения синусов \( \sin(x)\sin(y) = \frac{cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}\) $$ = 2^4 \int (\frac{1-\cos(4x)}{2}-\frac{\cos(2x)-\cos(6x)}{2} + \frac{1-\cos(8x)}{8})dx =$$$$ = 8 \int (1-\cos(4x))dx - 8 \int (\cos(2x)-\cos(6x))dx + 2 \int (1-\cos(8x))dx = $$ применяем формулу интеграла от косинуса \(\int \cos(ax)dx = \frac{1}{a}\sin(ax) + C\), получаем $$ = 8x - \frac{8}{4}\sin(4x) - \frac{8}{2}\sin(2x) + \frac{8}{6}\sin(6x)+ 2x - \frac{2}{8}\sin(8x) +C = $$$$ = 10x - 4\sin(2x) - 2\sin(4x) + \frac{4}{3}\sin(6x) - \frac{1}{4}\sin(8x) +C $$
Ответ: \( \int\cos^2(x) \sin^4(x) dx = 10x - 4\sin(2x) - 2\sin(4x) + \frac{4}{3}\sin(6x) - \frac{1}{4}\sin(8x) +C \)
