Знайти площу фігури, обмеженої лініями . Обчислити об`єм тіла, одержаного обертанням навколо осі Ох

Задание: найти площадь фигуры, ограниченной линиями $x= y^2 + 6y + 4; \quad x - 7y - 10 = 0$
Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси Ox, которая ограничена линиями, y = 0 при y > 0

Решение:
1. найдем площадь фигуры, ограниченную кривыми $x= y^2 + 6y + 4; \quad x - 7y - 10 = 0$
Построим кривые:
1.  $x= y^2 + 6y + 4$ - уравнение параболы.
2.  $x - 7y - 10 = 0 = >  x = 7y + 10$ - уравнение прямой. 
Строим рисунок:
Нужно найти площадь криволинейной фигуры $ABC$

В данной задаче функции представлены в виде $x = f(y)$, т.е. независимой переменной является $y$
Вспомним геометрический смысл определенного интеграла: если фигура ограниченна кривыми $x_1=g(y)$ и $x_2=f(y)$, причем  функция $f(y) > g(y)$, то определенный интеграл $S = \int_a^b[f(y) - g(y)]dy$ равен площади фигуры этой фигуры.
Согласно условия задачи $x_1= y^2 + 6y + 4; \quad x_2=  7y + 10$, тогда искомая площадь фигуры $ABC$ равна 

$$S_{ABC} = \int_D^E( 7y + 10 - (y^2 + 6y + 4))dy= \int_D^E( y - y^2 +6)dy$$ для нахождения интеграла нужно найти координаты $y$ точек D и E. Это точки пересечения кривых, поэтому решим систему уравнений $$\begin{cases} x= y^2 + 6y + 4 \\ x=  7y + 10 \end{cases} => \begin{cases} y_1 = 3; y_2 = -2\\ x=  7y + 10 \end{cases}$$ Подставляем координаты $y$ точек в интеграл $$S_{ABC} = \int_{-2}^{ 3}( y - y^2 +6)dy =$$  Для нахождения определенного интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)$, получаем   $$= \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{3}y^3+6y|_{-2}^{3} = \frac{125}{6} \approx 20.833$$

Ответ: площадь фигуры, которая ограничена линиями $x= y^2 + 6y + 4$ и $x=  7y + 10$ равна $S_{ABC} \approx 20.833$

2. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси Ox, которая ограничена линиями, $y = 0; \quad y > 0; \quad x= y^2 + 6y + 4; \quad x - 7y - 10 = 0$.

Если тело получено путем вращения криволинейной трапеции, ограниченной кривой $y_1 = f(x); y_2=g(x)$ (при этом $0 \leq f(x) \leq g(x)$), осью абсцисс и прямыми $x = a$ и $x = b$ вокруг оси $Ox$, объем рассчитывается по формуле

$$V_x = \pi \int_a^b(y_2^2-y_1^2)dx \quad (1)$$

В задании фигура ограничена функцией

$$x=  7y + 10 => y = \frac{x}{7} - \frac{10}{7} ; \quad y_1 = \frac{x}{7} - \frac{10}{7}$$ $$x=  y^2 + 6y + 4 => x=  y^2 + 2*3y + 9 - 9+4 =>$$ $$x=  (y+3)^2 - 5 => y = \pm \sqrt{x+5}-3 \quad y_2 = \pm \sqrt{x+5}-3$$ согласно условия задачи $y > 0$ => $$y_2 = \sqrt{x+5}-3$$

Границы
$a$ - точка пересечения кривой $x=  y^2 + 6y + 4$ с осью Ox, т.е. $y=0 => x=4$
$b$ - точка пересечения кривых, найдем ее, решив систему уравнений

$$\begin{cases}x=  y^2 + 6y + 4 \\ x=  7y + 10 \\ y > 0 \end{cases} => \begin{cases}y_1=3; \quad y=-2 \\ x=  7y + 10 \\ y > 0 \end{cases} =>$$ $$\begin{cases} y=3 \\ x =  31 \\ y > 0 \end{cases}$$ Получили $a=4; \quad b=31$

Подставляем данные в формулу (1), получаем

$$V_x = \pi \int_4^{31}((\sqrt{x+5}-3)^2 - (\frac{x}{7} - \frac{10}{7})^2)dx =$$ $$= \pi \int_4^{31}((x+5 - 6\sqrt{x+5}+9) - \frac{1}{49}(x^2 - 20x+100))dx =$$ применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)$, получим $$= \pi [( \frac{1}{2}x^2+14x - 4(x+5)^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{49}( \frac{x^3}{3} - 10x^2+100x)]|_4^{31}  \approx 30\pi$$
Ответ: объем тела,  полученного вращением фигуры вокруг оси Ox, которая ограничена линиями $y = 0; \quad y > 0; \quad x= y^2 + 6y + 4; \quad x - 7y - 10 = 0$ равен $V_x \approx 30\pi$