Обозначим через \(H_1,H_2,H_3\) - соответственно гипотезы о том, что наудачу взятый шар принадлежит первой, второй или третьей урне. Вероятность этих гипотез до проведения испытания равны между собой $$P(H_1) = P(H_2) = P(H_3) = \frac{1}{3}$$В результате испытания наблюдается событие \(A\), состоящее в том, что наудачу выбранный шар имеет номер, который является простым числом. Условные вероятности этого события при гипотезах \(H_1,H_2,H_3\) (т.е. шарик с простым числом из первой, второй или третьей урны) равны:
1. \(P(\frac{A}{H_1}) = \frac{5}{16}\) , где 16 - количество шаров (25-9), а 5 - количество простых чисел между числами от 10 до 25 (11, 13, 17, 19, 23)
2. \(P(\frac{A}{H_2}) = \frac{2}{7}\) , где 7 - количество шаров (32-25), а 2 - количество простых чисел между числами от 26 до 32 (29, 31)
3. \(P(\frac{A}{H_3}) = \frac{3}{13}\) , где 13 - количество шаров (45-32), а 3 - количество простых чисел между числами от 33 до 45 (37, 41, 43)
Вспомним формулу полной вероятности:
Вероятность события \(A\), которое может произойти вместе с одной из гипотез \(H_1,H_2, ... H_n\), равна сумме парных произведений вероятностей каждой из этих гипотез на соответствующие им условные вероятности наступления события \(A\): $$P(A) = \sum_{i=1}^n P(H_i)*P(\frac{A}{H_i})$$
Подставим полученные данные в формулу полной вероятности $$P(A) = P(H_1)*P(\frac{A}{H_1}) + P(H_2)*P(\frac{A}{H_2}) + P(H_3)*P(\frac{A}{H_3}) =>$$$$P(A) = \frac{1}{3}*\frac{5}{16} + \frac{1}{3}*\frac{2}{7} + \frac{1}{3}*\frac{3}{13} \approx 0,28$$Ответ: вероятность того. что номер шара из урны будет простым числом равна \(P(A) \approx 0,28\)
