Решение: найдем интеграл \( \int \frac{ dx}{x\sqrt{x+1}} \)
Интеграл будет находить методом замены независимой переменной. Замену будем применять такую, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе. Введем замену \(x+1 = t^2 => x = t^2-1; \quad dx = 2tdt \). Подставляем замену $$ \int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}} = \int \frac{1}{(t^2-1)*t}*2tdt = $$$$= 2\int \frac{1}{t^2-1}dt = $$ применим формулу разности квадратов \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), получаем $$ = 2\int \frac{1}{(t-1)(t+1)}dt = 2\int \frac{1}{2}[ \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1}]dt = $$$$ = \int[ \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1}]dt = \int \frac{1}{t-1}dt - \int \frac{1}{t+1}dt = $$ применяем формулу табличного интеграла логарифма \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x)+C\), получаем $$ = \ln(t-1) - \ln(t+1) +C = $$ применяем обратную замену \(t = \sqrt{x+1}\), получаем $$ = \ln(\sqrt{x+1}- 1) - \ln(\sqrt{x+1}+1) +C$$
Ответ: \( \int \frac{ dx}{x\sqrt{x+1}} = \ln(\sqrt{x+1}- 1) - \ln(\sqrt{x+1}+1) +C\)
