Задание: Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции \(x^2-xy+y^2-2y-16=0\) в точке (1,1)\).
Решение: уравнение касательной в точке равно $$y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) \quad (1)$$ Из уравнения касательной следует, что тангенсом угла наклона касательной в точке является первая производная функции в точке.
Найдем производную неявной функции \(y(x)\), заданную уравнением \(x^2-xy+y^2-2y-16=0\).
1. Введем обозначение F(x;y) - функция двух переменных \(F(x;y) = x^2-xy+y^2-2y-16=0 \).
2. Найдем частные производные функции двух переменных \(F(x;y)\) по x и y
\(F'_x = \frac{\partial F}{\partial x} = ( x^2-xy+y^2-2y-16)'_x => \) при этом считаем \(y = const \), получаем \( F'_x = 2x -y\)
\(F'_y = \frac{\partial F}{\partial y} = (x^2-xy+y^2-2y-16)'_y =>\) при этом считаем \(x = const \), получаем \(F'_y= - x + 2y-2\)
3. Найдем производную неявно заданной функции по формуле $$\frac{dy}{dx} = -\frac{F'_x}{F'_y} = -\frac{ 2x -y }{ - x + 2y-2} $$
4. Найдем производную в точке M(1;1), подставляем
$$f'(1;1) = -\frac{ 2*1 -1 }{ - 1 + 2*1-2} = 1 $$
Ответ: тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в заданной точке равен\(f'(1;1) = 1\)
