Задача: В среднем на телефонной станции заказывают 2 телефонных разговора в течение пяти минут. Какова вероятность того, что будет заказано 2 или более 5 разговоров в течение пяти минут?
Решение:
Рассмотрим характерные особенности данных, для которых целесообразно применять распределение Пуассона:
1. Каждый малый интервал времени может рассматриваться как опыт, результатом которого является одно из двух: либо происшествие (“успех”), либо его отсутствие (“неудача”). Интервалы столь малы, что может быть только один “успех” в одном интервале, вероятность которого мала и неизменна.
2. Число “успехов" в одном большом интервале не зависит от их числа в другом, т.е. “успехи” беспорядочно разбросаны по временным промежуткам.
3. Среднее число “успехов” постоянно на протяжении всего времени. Распределение вероятностей Пуассона может быть использовано не только при работе со случайными величинами на временных интервалах, но и при учете дефектов дорожного покрытия на километр пути или опечаток на страницу текста. Общая формула распределения вероятностей Пуассона: $$P_n(k)= \frac{a^ke^{-a}}{k!}$$
где \(a\) - называют параметром распределения Пуассона, \(a= M(X)\), математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равно числу \(а\).
Согласно условия задачи:
1. Существует неограниченное количество опытов, т.е. маленьких отрезков времени, когда может появиться заказ на телефонный разговор, вероятность чего мала и постоянна. (пункт 1 характерных особенностей выполняется)
2. Считается, что спрос на телефонные разговоры беспорядочно распределен во времени. (пункт 2 характерных особенностей выполняется)
3. Считается, что среднее число телефонных разговоров в любом -минутном отрезке времени одинаково. (пункт 3 характерных особенностей выполняется)
В данной задаче целесообразно применять распределение Пуассона.
В задании среднее число заказов равно 2 за 5 минут, получаем формулу распределения Пуассона: $$P_n(k)= \frac{2^ke^{-2}}{k!} \quad (1)$$
1. Какова вероятность того, что будет заказано 2 разговора в течение пяти минут.
Подставляем данные в формулу (1) $$P_5(2)= \frac{2^2e^{-2}}{2!} = \frac{2}{e^2} \approx 0.27$$
2. Какова вероятность того, что будет заказано более 5 разговоров в течение пяти минут.
Для того, чтобы найти вероятность заказа более 5 разговоров найдем вероятности разговоров
0 - разговоров \(P_5(0)= \frac{2^0e^{-2}}{0!} = \frac{1}{e^2} \approx 0.135\)
1 - разговор \(P_5(1)= \frac{2^1e^{-2}}{1!} = \frac{2}{e^2} \approx 0.271\)
2 - разговора \(P_5(2)= \frac{2^2e^{-2}}{2!} = \frac{2}{e^2} \approx 0.271\)
3 - разговора \(P_5(3)= \frac{2^3e^{-2}}{3!} = \frac{4}{3e^2} \approx 0.18\)
4 - разговора \(P_5(4)= \frac{2^4e^{-2}}{4!} = \frac{2}{3e^2} \approx 0.09\)
5 - разговора \(P_5(5)= \frac{2^5e^{-2}}{5!} = \frac{4}{15e^2} \approx 0.036\)
Вероятность того, что будет заказано более 5 разговоров в течение пяти минут будем искать по формуле $$P_5(n > 5) = 1 - P_5(0) - P_5(1) -$$$$ - P_5(2) - P_5(3) - P_5(4) - P_5(5) => $$$$ P_5(n > 5) = 1 - \frac{1}{e^2} - \frac{2}{e^2} - \frac{2}{e^2} -$$$$ - \frac{4}{3e^2} - \frac{2}{3e^2} - \frac{4}{15e^2} = 1- \frac{109}{15e^2} \approx 0.017$$
