Решение: Распределение вероятностей случайной величины \(X\) называется равномерным на отрезке \([\alpha;\beta]\), если плотность вероятностей этой величины постоянна на данном отрезке и равна $$p(x) = \begin{cases}\frac{1}{\beta - \alpha} & x \in [\alpha;\beta]\\0 & x \notin [\alpha;\beta]\end{cases}$$
Согласно условия задачи: некоторая случайная величина распределена по равномерному закону на интервале [-8;7], тогда плотность распределения вероятностей этой случайной величины будет равна $$p(x) = \begin{cases}\frac{1}{15} & x \in [-8;7]\\0 & x \notin [-8;7]\end{cases}$$
1. Какова вероятность того, что случайная величина окажется в пределах [-10;9]?
Найдем вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины \(X\) в интервал \( X \in [-10;9]\). На этот вопрос можно ответить сразу, т.к. интервал [-8;7] является внутренним для интервала [-10;9], то вероятность \(P(-10 \leq X \leq 9) = 1\), т.к. \(P(-8 \leq X \leq 7) = 1\)
2. Как изменится эта вероятность, если интервал распределения случайной величины принять равным [-3;7]?
Вероятность будем находить по формуле $$P(a < X < b) = \int_{a}^{b}p(x)dx = \int_{a}^{b}\frac{1}{\beta - \alpha}dx = \frac{b-a}{\beta - \alpha} \quad (1)$$Плотность вероятностей этой величины постоянна на данном отрезке равна $$p(x) = \begin{cases}\frac{1}{15} & x \in [-8;7]\\0 & x \notin [-8;7]\end{cases} $$подставляем в (1) получаем $$P(-3 \leq X \leq 7) = \frac{7+3}{7+8} = \frac{2}{3} $$
Ответ: вероятность попадания случайной величины X в интервал [-3;7] равна \(P(-3 \leq X \leq 7) = \frac{2}{3} \)
