Задание: Фирма имеет три источника поставки комплектующих фирмы А, В, С. На долю фирмы А приходится 32 % общего объема поставок, фирмы В – 41 % и С – 27 %. Из практики известно, что 3% поставляемых фирмой А деталей бракованны, фирмой В – 8% и фирмой С – 5%.
Какова вероятность того, что, взятая наугад и оказавшаяся годной 1=1 (бракованной – 1=0), деталь получена от фирмы 2?
Решение: введем следующие обозначения:
событие \( A\) - наудачу взятая деталь оказались годной.
гипотеза \(H_1\) - деталь поставлена фирмой A, вероятность поставки детали равна \(P(H_1) = 0.32\), а вероятность того, что эта деталь будет годной равна \(P( A/H_1) = 1- 0.03 = 0.97\)
гипотеза \(H_2\) - деталь поставлена фирмой B, вероятность поставки детали равна \(P(H_2) = 0.41\), а вероятность того, что эта деталь будет годной равна \(P( A/H_2) = 1 - 0.08 = 0.92\)
гипотеза \(H_3\) - деталь поставлена фирмой C, вероятность поставки детали равна \(P(H_3) = 0.27\), а вероятность того, что эта деталь будет годной равна \(P( A/H_3) = 1 - 0.05 = 0.95\)
Найдем вероятность того, что наугад взятая деталь годная \(P(A)\),
применим формулу полной вероятности:
Рассмотрим \(n\) попарно несовместных событий \(H_1,H_2,...,H_n\) для которых известны вероятности \(P(H_i) \ne 0\) и событие \(A \in H_1+H_2+...+H_n\), причем известны условные вероятности \(P(A/H_i)\), тогда вероятность события \(A\), находится по формуле \(P(A) = \sum_{i=1}^nP(H_i)P(A/H_i)\). Эта формула называется формулой полной вероятности, а события \(H_1,H_2,...H_n\) - гипотезы.
Подставляем данные в формулу полной вероятности, получаем $$P(A) = P(H_1)P(A/H_1) + P(H_2)P(A/H_2) + P(H_3)P(A/H_3) => $$ подставляем данные из условия задачи $$ P(A)= 0.32*0.97 + 0.41*0.92 + 0.27*0.95= 0.9441$$
Ответ: вероятность того, что наугад взятая деталь годная \(P(A) = 0.9441\)
Найдем вероятность того, что, взятая наугад и оказавшаяся годной, деталь получена от фирмы B.
Для ответа применим формулу Бейеса
Пусть \(H_1,H_2,...,H_n\) - попарно-несовместные события, вероятности которых \(P(H_i) \ne 0\), и событие \(A \subset H_1+H_2+...+H_n\), для которого известны условные вероятности \(P(A/H_i)\). Произведен опыт, в результате которого появилось событие \(A\). Условные вероятности событий \(H_1,H_2,...,H_n\) относительно события \(A\) определяется формулами $$P(H_k/A) = \frac{P(H_k)P(A/H_k)}{\sum_{i=1}^nP(H_i)P(A/H_i)} = \frac{P(H_k)P(A/H_k)}{P(A)} $$
Подставляем данные в формулу $$P(H_2/A) = \frac{P(H_2)P(A/H_2)}{\sum_{i=1}^4P(H_i)P(A/H_i)} $$ подставляем данные задачи$$ P(H_2/A) = \frac{0.41*0.92}{ 0.32*0.97 + 0.41*0.92 + 0.27*0.95} \approx 0.3995$$
Ответ: вероятность того, что, взятая наугад и оказавшаяся годной, деталь получена от фирмы B равна \(P(H_2/A) = 0.3995\)
