Решение: Нормальным распределением или распределением Гаусса, называется распределение с плотностью вероятностей \(p(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}\), где \(a\) и \(\sigma\) называются параметрами нормального распределения и равны :
параметр \(a = M(X)\) - математическое ожидание
параметр \(\sigma = \sqrt{D(X)}\) - среднее квадратическое отклонение случайной величины
Вероятность попадания значений нормальной случайной величины \(X\) в интервал \((\alpha;\beta)\) определяется формулой $$P(\alpha < x < \beta) = \phi(\frac{ \beta-a}{\sigma})- \phi(\frac{ \alpha -a}{\sigma}) \quad (1)$$ где \(\phi(x)\) - функция Лапласа: \(\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^xe^{-\frac{t^2}{2}}dt\)
Из условия задачи следует, что нам нужно найти \(a\), \(\sigma\).
При этом известно, что случайная величина в 15% случаев приобретает значение, меньше 12, т.е \(P(-\infty < X < 12) = 0.15\)
Применим формулу (1) для решения задачи $$P(-\infty < X < 12) = 0.15 => \phi(\frac{ 12-a}{\sigma}) - \phi(\frac{ -\infty -a}{\sigma}) =0.15 => $$$$ \phi(\frac{ 12-a}{\sigma}) + \frac{1}{2} = 0.15 => $$$$ \phi(\frac{ 12-a}{\sigma}) = -0.35 => \phi(\frac{ a - 12}{\sigma}) = 0.35$$ смотрим таблицу функции Лапласа \(\phi(x)=0.35 => x = 1.04\)
Применим формулу (1) для решения задачи $$P(16.2 < X < \infty) = 0.4 => \phi(\frac{ \infty-a}{\sigma}) - \phi(\frac{ 16.2 -a}{\sigma}) 0.4 => $$$$ \frac{1}{2} - \phi(\frac{ 16.2 -a}{\sigma}) = 0.4=> \phi(\frac{ 16.2 -a}{\sigma}) =0.1$$ смотрим таблицу функции Лапласа \(\phi(x)=0.1 => x = 0.25\)
Для нахождения параметров \(a; \quad \sigma\) составим систему уравнений
$$\begin{cases}\frac{ a - 12}{\sigma} = 1.04\\ \frac{ 16.2 -a}{\sigma} = 0.25\end{cases} => \begin{cases} a - 12 = 1.04\sigma \\ 16.2 -a = 0.25\sigma\end{cases} => $$$$ \begin{cases} 4.2 = 1.29\sigma \\ 16.2 -a = 0.25\sigma\end{cases} => \begin{cases} \sigma = 3.26 \\ a = 15.39\end{cases} $$
Ответ: математическое ожидание равно \(a = 15.39\), среднее квадратическое отклонение случайной величины \(\sigma = 3.26\)
