Задание: На маршруте выполнение рейса есть 5 районов, в каждом из которых с вероятностью 0,2 возможно образование грозового фронта.
Составьте ряд распределения случайной величины ܺ Х - количества районов, пройденных самолетом до встречи с грозовым фронтом, и найдите М (Х), D (X), сигма (Х) этой случайной величины.
Решение: пусть \(X\) - дискретная случайная величина равная числу районов, пройденных самолетом до встречи с грозовым фронтом. Самолет может сразу встретит грозовой фронт, т.е. тогда X=0, пролететь один район X=1 и т.д. до последнего района, т.е. X=4 или не встретит грозовой фронт, пролетев все районы X=5 , тогда \(X \in \text{{0,1,2,3,4,5}}\), запишем закон распределения случайной величины в виде таблицы:
$$ \begin{array}{|c|c|c|}\hline x_i& 0& 1& 2& 3 & 4 & 5\\ \hline \\ p_i& & & & \\ \hline \end{array} $$
Найдем вероятности случайных величин.
событие \(A_i\) - самолет встретил грозовой фронт в районе \(i\), а событие \(\overline{A_i}\) - не встретил, тогда \(P(A_i) = 0.2\), а \(P(\overline{A_1}) = 0.8\)
тогда случайная величина \(X = i\) равна
\(X = 0; \quad A_1\) - самолет встретит грозовой форонт в первом районе.
\(X = 1; \quad \overline{A_1}A_2\) - самолет встретит грозовой форонт во втором районе.
\(X=2; \quad \overline{A_1A_2}A_3\) - самолет встретит грозовой форонт в третьем районе.
\(X=3; \quad \overline{A_1A_2A_3}A_4\) - самолет встретит грозовой форонт в четвертом районе.
\(X=4; \quad \overline{A_1A_2A_3A_4}A_5\) - самолет встретит грозовой форонт в пятом районе.
\(X=5; \quad \overline{A_1A_2A_3A_4A_5}\) - самолет не встретит грозовой форонт.
Рассмотрим каждый случай отдельно и найдем его вероятность:
1. \(X=0\) самолет встретит грозовой форонт в первом районе.
$$p(X=0) = p(A_1) = 0.2$$
2. \(X=1\) самолет встретит грозовой форонт во втором районе.
$$p(X=1) = p(\overline{A_1}A_2) = p(\overline{A_1})p(A_2) = 0.8*0.2 = 0.16$$
3. \(X=2\) самолет встретит грозовой форонт во третьем районе.
$$ p(X=2) = p(\overline{A_1A_2}A_3) = p(\overline{A_1}p(\overline{A_2})p(A_3)= 0.8*0.8*0.2 = 0.8^2*0.2= 0.128$$
4. \(X=3\) самолет встретит грозовой форонт в четвертом районе.
$$ p(X=3) = p( \overline{A_1A_2A_3}A_4)= p(\overline{A_1})p(\overline{A_2})p(\overline{A_3})p(A_4)= 0.8^3*0.2 = 0.1024$$
5. \(X=4\) самолет встретит грозовой форонт в пятом районе.
$$ p(X=4) = p( \overline{A_1A_2A_3A_4}A_5)= p( \overline{A_1})p( \overline{A_2})p( \overline{A_3})p( \overline{A_4})p(A_5)= 0.8^4*0.2 = 0.08192$$
6. \(X=5\) самолет не встретит грозовой форонт.
$$ p(X=5) = p( \overline{A_1A_2A_3A_4A_5})= p( \overline{A_1})p( \overline{A_2})p( \overline{A_3})p( \overline{A_4})p( \overline{A_5})= 0.8^5 = 0.32768$$
Проверяем результат: так как все события \(X \in \text{{0,1,2,3,4,5}}\) образуют полную группу событий, то сумма вероятностей должна быть равна 1, т.е. $$p(X=0) + p(X=1) + p(X=2) + p(X=3) =$$$$= 0.2 + 0.16 + 0.128 + 0.1024 + 0.08192+ 0.32768 = 1 $$ расчеты проведены правильно, заполняем таблицу
$$ \begin{array}{|c|c|c|}\hline X & 0& 1& 2& 3 &4 & 5 \\ \hline \\ p(X=i)& 0.2 &0.16 & 0.128 & 0.1024 & 0.08192 & 0.32768 \\ \hline \end{array} $$
Найдем математическое ожидание
Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается по формуле
$$M(X) = x_1p(X_1) + x_2p(X_2) + ... + x_np(X_n) = \sum_{k=1}^{n}x_kp(X_k)$$
берем все данные из таблицы, получаем
$$M(X) = 0*0.2 + 1*0.16 + 2*0.128 + 3*0.1024 + 4*0.08192 + 5*0.32768 = 2.68928$$
Ответ: математическое ожидание \(M(X) = 2.68928\)
Дисперсия
Запишем закон распределения случайной величины \((X-M(X))^2\)
$$ \begin{array}{|c|c|c|}\hline X& (0-2.68928)^2& (1-2.68928)^2 & (2-2.68928)^2 & (3-2.68928)^2 & (4-2.68928)^2 & (5-2.68928)^2 \\ \hline \\ p(X=i)& 0.2 & 0.16 & 0.128 & 0.1024 & 0.08192 & 0.32768 \\ \hline \end{array} $$
Дисперсию дискретной случайной величины будем искать по формуле \(D(X) = \sum_{k=1}^{n}(X_k-M(X))^2p_k\)
$$D(X) = (0-2.68928)^2*0.2+(1-2.68928)^2*0.16+(2-2.68928)^2*0.128+(3-2.68928)^2*0.1024 +$$$$+ (4-2.68928)^2*0.08192+ (5-2.68928)^2*0.32768 = 3.86419$$
Ответ: дисперсия равна \(D(X) = 3.86419\)
Среднеквадратическое отклонение: \( \sigma = \sqrt{D(X)}\)
$$ \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{3.86419} \approx 1.96575$$
Ответ: среднеквадратическое отклонение равно \(\sigma = 1.96575\)
