Задание: Дискретную случайную величину задано рядом распределения.
$$ \begin{array}{|c|c|c|}\hline x_i& 0& x_2& 2& 3 \\ \hline \\ p_i& 0.15 & p_2 & 0.45 & p_4 \\ \hline \end{array} $$
Найдите x2, p2, р4, если известны математическое ожидание М (Х) = 1,6 и дисперсия D (X) = 0,84. Постройте функцию распределения F (x) случайной величины Х и найдите вероятность попадания данной случайной величины в интервал (0,5; 2).
Решение: ряд распределения дискретной случайной величины не полный. Есть три неизвестные \(x_2;p_2;p_4\), т.е. нам необходимо составить систему из трех уравнений и решить ее.
1. Составим первое уравнение для этого применим формулу математического ожидания, т.к. известно, что \(M(X) = 1.6\)
Математическое ожидание
Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается по формуле
$$M(X) = x_1p(X_1) + x_2p(X_2) + ... + x_np(X_n) = \sum_{k=1}^{n}x_kp(X_k)$$берем все данные из таблицы, получаем $$M(X) = 0* 0.008 + x_2*p_2 + 2*0.45 + 3*p_4 = 1.6 => x_2*p_2 + 3*p_4 = 0.7$$
2. Составим второе уравнение для этого применим формулу дисперсии, т.к. известно, что \(D(X) = 0.84\)
Дисперсия
Запишем закон распределения случайной величины \((X-M(X))^2\)
$$ \begin{array}{|c|c|c|}\hline X& (0-1.6)^2& (x_2-1.6)^2 & (2-1.6)^2 & (3-1.6)^2 \\ \hline \\ p(X=i)& 0.15 & p_2 & 0.45 & p_4 \\ \hline \end{array} $$Дисперсию дискретной случайной величины будем искать по формуле \(D(X) = \sum_{k=1}^{n}(X_k-M(X))^2p_k\) $$D(X) = (0-1.6)^2*0.15+(x_2-1.6)^2*p_2+(2-1.6)^2*0.45+(3-1.6)^2*p_4 = 0.84$$ В данном случае удобнее использовать формулу $$D(X) = M(X^2) - M(X)^2 => $$$$ 0^2* 0.008 + x_2^2*p_2 + 2^2*0.45 + 3^2*p_4 - 1.6^2 = 0.84 => x_2^2*p_2+9p_4 = 1.6$$
3. Составим третье уравнение.
Согласно условия задачи, задан ряд распределения, тогда для ряда будет действительна формула \(\sum_{i=1}^nP_i=1\) получаем $$0.15+p_2+0.45+p_4=1 => p_2+p_4=0.4$$
Составляем систему уравнений из трех уравнений и решим ее $$\begin{cases}x_2*p_2 + 3*p_4 = 0.7 \\ x_2^2*p_2+9p_4 = 1.6 \\ p_2+p_4=0.4\end{cases}=> \begin{cases}x_2*p_2 + 3*(0.4 - p_2) = 0.7 \\ x_2^2*p_2+9(0.4 - p_2) = 1.6 \\ p_4=0.4 - p_2\end{cases}=> $$$$ \begin{cases}x_2*p_2 -3p_2 = -0.5 \\ x_2^2*p_2-9p_2 = -2 \\ p_4=0.4 - p_2\end{cases}=> \begin{cases}p_2 = -\frac{0.5}{x_2-3} \\ x_2 \ne 3 \\ x_2^2*p_2+9\frac{0.5}{x_2-3} = -2 \\ p_4=0.4 - p_2\end{cases}=> $$$$ \begin{cases}p_2 = -\frac{0.5}{x_2-3} \\ x_2 \ne 3\\ x_2^2*\frac{0.5}{3-x_2}-9\frac{0.5}{3-x_2} = -2 \\ p_4=0.4 - p_2\end{cases}=> \begin{cases}p_2 = -\frac{0.5}{x_2-3} \\ x_2 \ne 3\\ x_2^2-9 = -12+4x_2 \\ p_4=0.4 - p_2\end{cases}=> $$$$ \begin{cases}p_2 = -\frac{0.5}{x_2-3}\\ x_2 \ne 3\\ x_2=1; \quad x_2=3\\ p_4=0.4 - p_2\end{cases}=> \begin{cases}p_2 = 0.25 \\ x_2=1\\ p_4=0.15\end{cases}$$
Получили ряд распределения $$ \begin{array}{|c|c|c|}\hline x_i& 0& 1 & 2& 3 \\ \hline \\ p_i& 0.15 & 0.25 & 0.45 & 0.15 \\ \hline \end{array} $$
Построим функцию распределения для случайной величины \(X\)
Для построения функции распределения дискретной случайной величины воспользуемся формулой $$F(x) = \sum_{x_k < x}P(X=X_k)$$
1. при \(x \leq 0 \) функция распределения
\(F(X) = \sum_{x_k < x}P(X=X_k) = 0\)
2. при \( 0 < x \leq 1 \) функция распределения
\(F(X) = \sum_{x_k < x}P(X=X_k) = P(X=0) = 0 + 0.15 = 0.15\)
3. при \(1 < x \leq 2 \) функция распределения
\(F(X) = \sum_{x_k < x}P(X=X_k) = P(X=0) + P(X=1) = 0 + 0.15+ 0.25 = 0.4\)
4. при \(2 < x \leq 3 \) функция распределения
\(F(X) = \sum_{x_k < x}P(X=X_k) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0 + 0.15+ 0.25 + 0.45 = 0.85\)
5. при \( x > 3 \) функция распределения
\(F(X) = \sum_{x_k < x}P(X=X_k) = \)
\(P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0 + 0.15+ 0.25 + 0.45 + 0.15 = 1\)
Получили функцию распределения $$F(X) = \begin{cases}0 & при & x \leq 0\\ 0.15 & при & 0 < x \leq 1 \\ 0.4 & при & 1 < x \leq 2 \\ 0.85 & при & 2 < x \leq 3 \\ 1 & при & x > 3 \end{cases} $$
Найдите вероятность попадания данной случайной величины в интервал (0,5; 2). $$P(0.5 < X < 2) = F(2) - F(0.5) = 0.4 - 0.15 = 0.25$$
