Задание: Прибор может работать в двух режимах:
а) нормальном и
б) ненормальном.
Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора;
ненормальный - в 20%.
Вероятность выхода прибора из строя за время t в
нормальном режиме равна 0,1;
в ненормальном - 0,7.
Найти вероятность выхода прибора из строя за время t.
Решение: введем следующие обозначения:
событие \(A\) - прибор вышел из строя.
гипотеза \(H_1\) - прибор работает в нормальном режиме время t, тогда вероятность того, что прибор будет работать в нормальном режиме равна \(P(H_1) = 0.8\), а вероятность того, что прибор выйдет из строя при работе в нормальном режиме равна \(P(A/H_1) = 0.1\)
гипотеза \(H_2\) - прибор работает в ненормальном режиме время t, тогда вероятность того, что прибор будет работать в ненормальном режиме равна \(P(H_2) = 0.2\), а вероятность того, что прибор выйдет из строя при работе в нормальном режиме равна \(P(A/H_2) = 0.7\)
Найдем вероятность того, что прибор выйдет из строя за время t \(P(A)\),
применим формулу полной вероятности:
Рассмотрим \(n\) попарно несовместных событий \(H_1,H_2,...,H_n\) для которых известны вероятности \(P(H_i) \ne 0\) и событие \(A \in H_1+H_2+...+H_n\), причем известны условные вероятности \(P(A/H_i)\), тогда вероятность события \(A\), находится по формуле \(P(A) = \sum_{i=1}^nP(H_i)P(A/H_i)\). Эта формула называется формулой полной вероятности, а события \(H_1,H_2,...H_n\) - гипотезы.
Подставляем данные в формулу полной вероятности, получаем $$P(A) = P(H_1)P(A/H_1) + P(H_2)P(A/H_2) = $$$$ = 0.8*0.1 + 0.2*0.7 = 0.22$$
Ответ: вероятность того, что за время t прибор выйдет из строя равна \(P(A) = 0.22\)
