Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/Latin1Supplement.js
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Вычислить с помощью подстановки неопределённый интеграл от функции \int \frac{ \sqrt{x}}{x+4}dx


0 Голосов
Ионова Мария �
Posted Апрель 15, 2015 by Ионова Мария Сергеевна
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 2074

Вычислить с помощью подстановки неопределённый интеграл от функции \int \frac{ \sqrt{x}}{x+4}dx

Теги: неопределенный интеграл, метод замены переменной

Все ответы


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Июнь 17, 2015 by Вячеслав Моргун

Решение: найдем интеграл \int \frac{ \sqrt{x}}{x+4}dx
Подынтегральная функция содержит иррациональность \sqrt{x}, т.е подынтегральная функция содержит линейную иррациональную функцию, которую мы преобразуем к рациональной методом подстановки.
Применим замену \sqrt{x} = t => x = t^2 => dx = 2tdt Подставляем замену  \int \frac{ \sqrt{x}}{x+4}dx = \int \frac{t}{t^2+4}2tdt => выделим целую часть в числителе = 2\int \frac{ t^2 +4 - 4}{t^2+4}dt = 2\int [ 1 - \frac{4}{t^2+4}]dt =  = 2t - 8\int \frac{1}{t^2+4}]dt =  применим формулу табличного интеграла \int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C, получаем  = 2t - 8 \frac{1}{2} arctg \frac{t}{2} + C = 2t - 4 arctg \frac{t}{2} + C =  применим обратную замену t = \sqrt{x}  , получаем  = 2 \sqrt{x} - 4 arctg \frac{ \sqrt{x}}{2} + C
Ответ:   \int \frac{ \sqrt{x}}{x+4}dx = 2 \sqrt{x} - 4 arctg \frac{ \sqrt{x}}{2} + C