Решение: вычислим приближенно определенный интеграл \( \int_{0}^{1} \cos(\sqrt[5]{x})dx\), используя разложение подынтегральной функции в степенные ряды.
В данном случае функция сложная и ее производная будет иметь переменную \(x\) в знаменателе, т.е. значение производных будут не определены, поэтому введем замену $$x = y^5 => dx = 5y^4dt$$ найдем новые границы интеграла $$x = 0 => y = 0; \quad x = 1 => y = 1$$ подставляем в интеграл $$\int_{0}^{1} \cos\sqrt[5]{x}dx =5 \int_{0}^{1} y^4\cos(y)dy = \quad (1)$$ Получили подынтегральную функцию в виде произведения двух функций \(f(y) = y^4\) и \( g(x) = \cos(y)\). Разложим функцию \( g(y) = \cos(y)\) в степенной ряд Маклорена $$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ..... \quad (1)$$ Найдем значении функции и значения ее производных в точке \(x=0\) (данное разложение уже известно) $$ \cos(y) = 1 - \frac{y^2}{2!} + \frac{y^4}{4!} - \frac{y^6}{6!}+ ...+ = \sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}y^{2n} \quad (2)$$
Подставляем (2) в интеграл (1) $$ = 5 \int_{0}^{1} y^4(1 - \frac{y^2}{2!} + \frac{y^4}{4!} - \frac{y^6}{6!}+ ...)dy = 5 \int_{0}^{1}(y^4 - \frac{y^6}{2!} + \frac{y^8}{4!} - \frac{y^{10}}{6!}+ ...)dy = $$$$ = 5( \frac{y^5}{5} - \frac{y^7}{7*2!}+\frac{y^9}{9*4!}-\frac{y^{11}}{11*6!}+ ... |_0^1) = \frac{5}{5} - \frac{5}{7*2!}+ \frac{5}{9*4!}- \frac{5}{11*6!} + ... =$$ Получили знакопеременный ряд. Для того, чтобы проводить дальнейшие расчеты необходимо определить количество членов ряда для суммирования с учетом того, что погрешность \(\sigma = 0.001\)
Найдем значения каждого члена ряда
\( \frac{5}{5} = 1 > 0.001 \)
\( \frac{5}{7*2!} \approx 0.3571 > 0.001 \)
\( \frac{5}{9*4!} \approx 0.0231 > 0.001\)
\( \frac{5}{11*6!} \approx 0.0006 < 0.001\)
Дальнейшие расчеты проводить не будим, точность расчетов достаточна $$ \int_{0}^{1} \cos(\sqrt[5]{x})dx \approx 1 - 0.3571 + 0.0231 - 0.0006 \approx 0.6654 $$
Ответ: \( \int_{0}^{1} \cos(\sqrt[5]{x})dx \approx 0.6654 \)
