Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Решить систему линейных уравнений $$\begin{cases} 3x+2y+z=5 \\ 6x+9y+3z=3 \\ 2x+y+3z=11\end{cases}$$


0 Голосов
Кристина Ипсе
Posted Апрель 15, 2015 by Кристина Ипсен
Категория: Алгебра
Всего просмотров: 1482

Решить систему линейных уравнений $$ \begin{cases} 3x+2y+z=5 \\ 6x+9y+3z=3 \\ 2x+y+3z=11 \end{cases}$$ 

Теги: решить систему линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Апрель 15, 2015 by Вячеслав Моргун

Решим систему уравнений $$ \begin{cases} 3x+2y+z=5 \\ 6x+9y+3z=3 \\ 2x+y+3z=11 \end{cases}$$ 
Методом Гаусса


1.Проверяем систему уравнений на совместность. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. 
Составим расширенную матрицу системы, приписав к матрице из коэффициентов системы \(A = \left(\begin{array}{c} 3& 2 & 1 \\ 6 & 9 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right)\) справа столбец свободных членов, получаем : \((A|b) = \left(\begin{array}{c} 3& 2 & 1 \\ 6 & 9 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\left|\begin{array}{c}  5 \\ 3 \\ 11 \end{array}\right.\right)\)


Согласно теоремы Кронекера-Капелли система \(Ax=b\) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы \(rg(A|b)=rgA\)
Найдем ранг матрицы:
2. Используя элементарные преобразования над строками матрицы \((A|b)\) , приведем ее к ступенчатому виду, 
для этого используем метод Гаусса. 
Прямой ход метода Гаусса. Нам необходимо выбрать ведущий элемент в первом столбце. Для простоты решения нужно чтобы он был равен
1. \((A|b) =  \left(\begin{array}{c} 3& 2 & 1 \\ 6 & 9 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\left|\begin{array}{c}  5 \\ 3 \\ 11 \end{array}\right.\right) \sim \) 
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{11} = 3 \ne 0\). Для упрощения расчетов элемент \(a_{11}\) приведем к 1. Это можно сделать путем вычитания из первой строки третью строку. 
\(  \left(\begin{array}{c} 1& 1 & -2 \\ 6 & 9 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\left|\begin{array}{c}  -6 \\ 3 \\ 11 \end{array}\right.\right) \sim  \) 
Для упрощения расчетов, разделим вторую строку на \(3\) 
\(  \left(\begin{array}{c} 1& 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\left|\begin{array}{c}  -6 \\ 1 \\ 11 \end{array}\right.\right) \sim  \) 
Из второй строки вычтем первую строку, умноженную на \(2\) 
\( \left(\begin{array}{c} 1& 1 & -2 \\ 0 & 1 & 5\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\left|\begin{array}{c}  -6 \\ 13 \\ 11 \end{array}\right.\right) \sim  \)   
Аналогично из третьей строки вычитаем первую,  умноженную на \(2\), получим: 
\( \left(\begin{array}{c} 1& 1 & -2 \\ 0 & 1 & 5\\ 0 & -1 & 7 \end{array}\left|\begin{array}{c}  -6 \\ 13 \\ 23 \end{array}\right.\right) \sim  \)    


Берем в качестве ведущего элемента \(a_{22} = 1 \ne 0\). 
К третьей строке добавить вторую строку
\( \left(\begin{array}{c} 1& 1 & -2 \\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 12 \end{array}\left|\begin{array}{c}  -6 \\ 13 \\ 36 \end{array}\right.\right) \sim  \)    
Для упрощения расчетов, разделим третью строку на \(3\) 
\( \left(\begin{array}{c} 1& 1 & -2 \\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c}  -6 \\ 13 \\ 3 \end{array}\right.\right) \sim  \)     


3. Определим ранг матрицы
\(rgA = rg(A|b) = 3\) Согласно теоремы Кронекера-Капелли система совместна. Так как система  совместна, продолжаем ее решать методом Гаусса, приводим полученную матрицу \((\widetilde{A}|\widetilde{b})\) к упрощенному виду:


4. Обратный ход метода Гаусса. 
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{33} = 1 \ne 0\).
Из второй строки вычитаем третью строку, умноженную на \(5\)
\( \left(\begin{array}{c} 1& 1 & -2 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c}  -6 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right.\right) \sim  \)     
Складываем первую строку и третью строку, умноженную на \(2\) 
\( \left(\begin{array}{c} 1& 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c}  0 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right.\right) \sim  \)     
Складываем первую строку и вторую строку 
\( \left(\begin{array}{c} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c}  2 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right.\right) \sim  \)     
Привели матрицу к упрощенному виду.   


Ответ: Решением системы уравнений единственное и равно  \( \begin{cases} x = 2 \\ y = -2 \\ z = 3 \end{cases} \)