Решим систему уравнений $$\begin{cases} x+2y+4z=31 \\ 5x+y+2z=20 \\ 3x-y-z=10 \end{cases}$$
Применим правило Крамера.
1.Составим матрицу системы из коэффициентов при неизвестных \(x;y;z\). При этом, если какого-то из неизвестных в уравнении не хватает, то на его место в соответствующем столбике ставим 0. Получили $$A =\left(\begin{array}{c} 1& 2 & 4 \\ 5 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -1 \end{array}\right)$$ Найдем определитель матрица \(A\), обозначается как \(Δ\). Если определитель \(Δ = det A \ne 0\) , то система имеет единственное решение, которое находится по формуле $$x = \frac{Δ_x}{Δ}; \quad y = \frac{Δ_y}{Δ}; \quad z = \frac{Δ_z}{Δ}$$ где \(Δ_x;Δ_y;Δ_z\) - определитель матрицы, полученный из матрицы системы путем замены столбца \(x;y;z\) столбцом свободных членов.
Находим определитель матрицы по правилу треугольника $$Δ = \det A = \left|\begin{array}{c} 1& 2 & 4 \\ 5 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -1 \end{array}\right| = $$$$ \scriptsize \mbox{ = 1*1*(-1)+2*2*3+5*(-1)*4 - 3*1*4-(-1)*2*1-5*2*(-1) = -9} $$ Определитель \(Δ = -9 \ne 0\), т.е. система имеет единственное решение.
Найдем решение системы уравнений:
2. Подставим вместо первого столбца в определитель \(Δ\) столбец свободных членов и разделим на определитель матрицы \(Δ = -9\), получаем $$x = -\frac{1}{9} *\left|\begin{array}{c} 31& 2 & 4 \\ 20 & 1 & 2 \\ 10 & -1 & -1 \end{array}\right| => $$ Определитель находим по правилу треугольника, получаем $$ \scriptsize x = -\frac{1}{9} \mbox{( 31*1*(-1)+2*2*10+10*(-1)*4 - 10*1*4- (-1)*2*31-20*2*(-1)) =>} $$$$ x = -\frac{-9}{9} = 1$$
3. Подставим вместо второго столбца в определитель \(Δ\) столбец свободных членов и разделим на определитель матрицы \(Δ = -9\), получаем $$y = -\frac{1}{9} *\left|\begin{array}{c} 1& 31 & 4 \\ 5 & 20 & 2 \\ 3 & 10 & -1 \end{array}\right| => $$ Определитель находим по правилу треугольника, получаем $$ \scriptsize y = -\frac{1}{9} \mbox{(1*20*(-1)+31*2*3+5*10*4 - 3*20*4- 10*2*1-5*31*(-1)) = >} $$$$ y = -\frac{261}{9} = -29$$
4. Подставим вместо третьего столбца в определитель \(Δ\) столбец свободных членов и разделим на определитель матрицы \(Δ = -9\), получаем $$ z = -\frac{1}{9} *\left|\begin{array}{c} 1& 2 & 31 \\ 5 & 1 & 20 \\ 3 & -1 & 10 \end{array}\right| => $$ Определитель находим по правилу треугольника, получаем $$ \scriptsize z = -\frac{1}{9} \mbox{(1*1*10+2*20*3+5*(-1)*31 - 3*1*31-(-1)*20*1-5*2*10) =>}$$$$ z = -\frac{-198}{9} = 22$$ Получили три решения системы уравнений
Ответ: \(\begin{cases} x = 1 \\ y = -29 \\ z = 22 \end{cases} \)
