Пусть событие \(A_i\) - событие произошло, \(P(A_i) = 0.4\)
Воспользуемся теоремой умножения вероятностей \(n\) независимых событий.
Если события \(A_1,A_2, ... , a_n\) - независимы, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий $$P(A) = P(A_1A_2...A_n) = P(A_1)P(A_2)...P(A_n)$$
Согласно условия задачи \(P(A_1) = P(A_2) = ... = P(A_n) = P(A_i) = 0.4\).
"Хотя бы один раз", т.е. один и более раз, обычно находится как дополнение к "ни одного". Т.е. ищем вероятность того, что событие не произойдет \( P(\overline{A}) = P(\overline{A_1}\overline{A_2}...\overline{A_n}) = P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})...P(\overline{A_n}) \), тогда искомая вероятность будет равна \(P(A) = 1-P(\overline{A})\)
Ищем вероятность, что событие не произошло:
согласно условия задачи \(P(A_i) = 0.4 => P(\overline{A_i}) = 1 - 0.4 = 0.6\), тогда $$P(\overline{A_1}\overline{A_2}...\overline{A_n}) = (P(\overline{A_i}))^n = 0.6^n$$ Согласно условия задачи ищем $$P(A) \geq 0.8704 =>$$ т.к. уже указывалось, что \(P(A) = 1 - P(\overline{A})\), получаем $$ 1 - P(\overline{A}) \geq 0.8704 => P(\overline{A}) \leq 0.1296 =>$$ подставляем значение \(P(\overline{A}) = (P(\overline{A_i}))^n = 0.6^n\), получаем $$ 0.6^n \leq 0.1296 => \ln(0.6^n) \leq \ln(0.1296) =>$$$$ n\ln(0.6) \leq \ln(0.1296) => $$ т.к. \(\ln(0.6) < 0 \), то меняем знак неравенства $$ n \geq \frac{\ln(0.1296)}{\ln(0.6)} => n \geq 4$$
Ответ: нужно произвести 4 и более испытаний.
