Задание: Экспедиция издательства отправили газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0.95, во второе - 0.9 и в третье - 0.8. Найти вероятность того, что
а) Найти вероятность того, что только одно отделение получит газеты вовремя;
Решение: введем следующие обозначения:
событие \(A\) - газеты были доставлены своевременно только в одно отделение.
событие \(A_1\) - газеты доставлены в первое отделение, а событие \(\overline{A_1}\) - не доставлены , тогда \(P(A_1) = 0.95\), а \(P(\overline{A_1}) = 0.05\)
событие \(A_2\) - газеты доставлены во второе отделение, а событие \(\overline{A_2}\) - не доставлены , тогда \(P(A_2) = 0.9\), а \(P(\overline{A_2}) = 0.1\)
событие \(A_3\) - газеты доставлены в третье отделение, а событие \(\overline{A_3}\) - не доставлены , тогда \(P(A_3) = 0.8\), а \(P(\overline{A_3}) = 0.2\)
событие \(A\) - газета была доставлена своевременно только в одно отделение. (либо в первое, либо во второе, либо в третье), тогда
$$A=\overline{A_1A_2}A_3+\overline{A_1}A_2\overline{A_3}+A_1\overline{A_2A_3}$$ Поскольку слагаемые в правой части равенства несовместны, то применим
теорему сложения \(n\) несовместных событий:
Вероятность суммы \(n\) несовместных событий \(A_1,A_2,...,A_n\) равна сумме вероятностей этих событий : \(P(A_1+A_2+...+A_n) = P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)\),
получаем $$P(A)=P( \overline{A_1A_2}A_3+ \overline{A_1}A_2\overline{A_3}+A_1\overline{A_2A_3})=P( \overline{A_1A_2}A_3)+P( \overline{A_1}A_2\overline{A_3}) + P(A_1\overline{A_2A_3}) $$
Применим теорему умножения вероятностей \(n\) независимых событий
Если события \(A_1,A_2,...,A_n\) - независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей \(P(A_1A_2*...*A_n) = P(A_1)P(A_2)*...*P(A_n)\)
получаем $$ = P( \overline{A_1A_2}A_3)+P( \overline{A_1}A_2\overline{A_3}) + P(A_1\overline{A_2A_3}) =$$ подставляем значения вероятностей $$ = 0.05*0.1*0.8 + 0.05*0.9*0.2 + 0.95*0.1*0.2 = 0.032$$
Ответ: вероятность того, что газеты были доставлены своевременно только в одно отделение \(P(A) = 0.032\)
б) Найти вероятность того, что хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.
Пусть событие \(\overline{A}\) - газеты были доставлены хотя бы в одно отделение с опозданием.
"Хотя бы одно ", т.е. один и более раз, обычно находится как дополнение к "ни одного". Т.е. ищем вероятность того, что событие не произойдет, т.е. все газеты доставлены вовремя \( P(A) = P(A_1A_2A_3) = P(A_1)P(A_2)P(A_3) \), тогда искомая вероятность будет равна \(P(\overline{A}) = 1-P(A)\)
Ищем вероятность газеты доставлены вовремя: $$P(A) = P(A_1A_2A_3) = P(A_1)P(A_2)P(A_3) = 0.95*0.9*0.8 = 0.684$$
Вероятность того, что хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием равна $$P(\overline{A}) = 1- P(A) = 1 - 0.684 = 0.316$$
Ответ: вероятность того, что хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием равна \(P(\overline{A}) = 0.316\)
