Решение: найдем интеграл \( \int \frac{3x+4}{x-5}dx\).
Выделим целую честь дроби $$\int \frac{3x+4}{x-5}dx = \int \frac{3x-15+15+4}{x-5}dx = $$$$ = \int \frac{3(x-5)+19}{x-5}dx = \int [3+\frac{19}{x-5}]dx = $$
Применим теорему: Интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов слагаемых, т. е. \( \int(f(x)+g(x))dx = \int f(x)dx+ \int g(x)dx\), получаем $$ = \int 3dx+ \int \frac{19}{x-5}dx =$$Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е. \(\int af(x)dx = a\int f(x)dx\) $$ = 5\int dx+ 19 \int \frac{1}{x-5}dx = $$ применим табличные интегралы \(\int dx = x + C\) и интеграл от обратной функции \(f(x) = \frac{1}{x}\) ,\( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x)+C\), получаем $$ = 3x+ 19\ln(x-5) +C$$
Ответ: интеграл \( \int \frac{3x+4}{x-5}dx = 3x+ 19\ln(x-5) +C\)
