Решение: для нахождения интеграла \( \int \frac{\cos(x)+ \sin(x)}{\sin(2x)}dx\) проведем тригонометрические преобразования. Применим формулу синуса двойного угла \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\), получаем $$ \int \frac{\cos(x)+ \sin(x)}{\sin(2x)}dx = \int \frac{\cos(x)+ \sin(x)}{2\sin(x)\cos(x)}dx = \quad (1)$$ интеграл будем находить путем применения универсальной тригонометрической подстановкой:
$$ t = tg(\frac{x}{2}); \quad \sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}; \quad \cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}; \quad dx = \frac{2}{1+t^2}dt$$ подставляем в (1) $$ = \int \frac{ \frac{1-t^2}{1+t^2}+ \frac{2t}{1+t^2}}{2\frac{2t}{1+t^2} \frac{1-t^2}{1+t^2}}\frac{2}{1+t^2}dt = \int \frac{ 1-t^2+ 2t}{2t(1-t^2)}dt =$$$$ = \int (\frac{1}{2t}+\frac{1}{1-t^2})dt = \int [\frac{1}{2t}+\frac{1}{2}(\frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t})]dt = $$$$ = \frac{1}{2}[ \ln(t) -\ln(1-t) + \ln(1+t)] +C = $$ применяем обратную замену \(t= tg(\frac{x}{2})\), получаем $$ = \frac{1}{2}[ \ln(tg(\frac{x}{2})) -\ln(1- tg(\frac{x}{2})) + \ln(1+tg(\frac{x}{2}))] +C $$
Ответ: \(\int \frac{\cos(x)+ \sin(x)}{\sin(2x)}dx = \frac{1}{2}[ \ln(tg(\frac{x}{2})) -\ln(1- tg(\frac{x}{2})) + \ln(1+tg(\frac{x}{2}))] +C \)
