Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/Latin1Supplement.js
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Вычислить интеграл \int \frac{ \cos(x)+ \sin(x)}{\sin(2x)}dx


1 Vote
Анастасия
Posted Апрель 10, 2015 by Анастасия
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 1318

Вычислить интеграл   \int \frac{ \cos(x)+ \sin(x)}{\sin(2x)}dx

Теги: найти неопределенный интеграл, универсальная тригонометрическая подстановка

Лучший ответ


1 Vote
Вячеслав Морг
Posted Апрель 10, 2015 by Вячеслав Моргун

Решение: для нахождения интеграла  \int \frac{\cos(x)+ \sin(x)}{\sin(2x)}dx проведем тригонометрические преобразования. Применим формулу синуса двойного угла \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x), получаем  \int \frac{\cos(x)+ \sin(x)}{\sin(2x)}dx = \int \frac{\cos(x)+ \sin(x)}{2\sin(x)\cos(x)}dx =  \quad (1) интеграл будем находить путем применения универсальной тригонометрической подстановкой:
t = tg(\frac{x}{2}); \quad \sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}; \quad \cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}; \quad dx = \frac{2}{1+t^2}dt подставляем  в (1) = \int \frac{ \frac{1-t^2}{1+t^2}+ \frac{2t}{1+t^2}}{2\frac{2t}{1+t^2} \frac{1-t^2}{1+t^2}}\frac{2}{1+t^2}dt  = \int \frac{ 1-t^2+ 2t}{2t(1-t^2)}dt = = \int (\frac{1}{2t}+\frac{1}{1-t^2})dt = \int [\frac{1}{2t}+\frac{1}{2}(\frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t})]dt = = \frac{1}{2}[ \ln(t) -\ln(1-t) + \ln(1+t)] +C =   применяем обратную замену t= tg(\frac{x}{2}), получаем = \frac{1}{2}[ \ln(tg(\frac{x}{2})) -\ln(1- tg(\frac{x}{2})) + \ln(1+tg(\frac{x}{2}))] +C  


Ответ\int \frac{\cos(x)+ \sin(x)}{\sin(2x)}dx =  \frac{1}{2}[ \ln(tg(\frac{x}{2})) -\ln(1- tg(\frac{x}{2})) + \ln(1+tg(\frac{x}{2}))] +C