Решение: исследовать функциональный ряд \(\sum_1^\infty^n \frac{x^n}{2^n\sqrt{3^n-1}} \) на сходимость - это означает, что будем искать интервал сходимости и исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.
Алгоритм исследования на сходимость степенного ряда:
1. составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда, применим один из признаков сходимости числовых рядов, найдем интеграл сходимости:
ряд из абсолютных величин членов заданного ряда $$ \sum_1^\infty^n |\frac{x^n}{2^n\sqrt{3^n-1}}| = |\frac{x}{2\sqrt{3-1}}| + |\frac{x^2}{2^2\sqrt{3^2-1}}|+ ... +$$
применим к ряду признак Даламбера в граничной форме: если при \(n \to \infty\) существует предел отношения следующего члена ряда к предыдущему $$\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = l$$ то при \(l < 1\) сходится, при \(l > 1\) расходится, при \(l = 1\) требуются дополнительные исследования.
Применяем признак Даламбера $$l = \lim_{n \to \infty} |\frac{ \frac{x^{n+1}}{2^{n+1}\sqrt{3^{n+1}-1}}}{ \frac{x^n}{2^n\sqrt{3^n-1}}}| = \lim_{n \to \infty} |\frac{x^{n+1}}{2^{n+1} \sqrt{3^{n+1} -1}}*\frac{2^n \sqrt{3^n-1}}{x^n}| =$$$$ = \lim_{n \to \infty} |\frac{x \sqrt{3^n-1}}{2\sqrt{3^{n+1} -1}}| = \lim_{n \to \infty} | \frac{x 3^{ \frac{n}{2}}\sqrt{1-\frac{1}{3^n}}}{2*3^{ \frac{n+1}{2}} \sqrt{1 -\frac{1}{3^{n+1}}}}| =$$$$ = \lim_{n \to \infty} |\frac{x \sqrt{1-\frac{1}{3^n}}}{2*\sqrt{3} \sqrt{1 -\frac{1}{3^{n+1}}}}| = |\frac{x \sqrt{1-0}}{2*\sqrt{3} \sqrt{1 -0}}| = \frac{|x|}{2\sqrt{3}}|$$ Ряд сходится, если \(l = \frac{|x|}{2\sqrt{3}} < 1\), т.е. $$ \frac{|x|}{2\sqrt{3}} < 1 => |x| < 2\sqrt{3} =>$$$$ - 2\sqrt{3} < x < 2\sqrt{3} $$ Получили интервал сходимости \((-2\sqrt{3};2\sqrt{3})\)
2. найдем радиус сходимости. интервал сходимости симметричен относительно точки \(x_0 = 0\), тогда радиус сходимости равен \(R= 2\sqrt{3}\) (расстояние от центра до левой и правей границы интервала \((x_0-R;x_0+R)\))
3. исследуем поведение ряда на границах интервала сходимости.
левая граница \(x = -2\sqrt{3}\), получаем числовой ряд $$ -\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3-1}} + \frac{(-2\sqrt{3})^2}{2^2\sqrt{3^2-1}} + ... + (-1)^n \frac{(2\sqrt{3})^n}{2^n\sqrt{3^n-1}}$$ Получили знакопеременный ряд.
Согласно теоремы Лейбница (признак сходимости): если член знакопеременного ряда \(u_1 - u_2 + ... + (-1)^{n+1}u_n+ ...\), начиная с некоторого, монотонно убывают по абсолютной величине \(|u_n| > |n_{n+1}|\) и общий член ряда при \(n \to \infty\) стремится к 0 \(\lim_{n \to \infty} u_n = 0\), то ряд сходится.
Находим предел общего члена ряда $$ \lim_{n \to \infty}\frac{(2\sqrt{3})^n}{2^n\sqrt{3^n-1}} = \lim_{n \to \infty}\frac{(\sqrt{3})^n}{\sqrt{3^n-1}} = $$$$ = \lim_{n \to \infty}\frac{3^{ \frac{n}{2}}}{3^{\frac{n}{2}}*\sqrt{1-\frac{1}{3^n}}} = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{3^n}}} = 1 $$ ряд расходится, т.е. на левой границе \(x=-2\sqrt{3}\) интервала сходимости заданный степенной ряд расходится.
правая граница \(x=2\sqrt{3}\), получаем числовой ряд $$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3-1}} + \frac{(2\sqrt{3})^2}{2^2\sqrt{3^2-1}} + ... + \frac{(2\sqrt{3})^n}{2^n\sqrt{3^n-1}}$$ Получили знакопостоянный ряд.
Необходимым условием сходимости ряда является: общий член ряда при \(n \to \infty\) стремится к 0 \(\lim_{n \to \infty} u_n = 0\).
Находим предел общего члена ряда $$\lim_{n \to \infty} \frac{(2\sqrt{3})^n}{2^n\sqrt{3^n-1}} = 1 $$ ряд расходится, т.е. на правой границе \(x=2\sqrt{3}\) интервала сходимости заданный степенной ряд расходится.
Таким образом область сходимости \((-2\sqrt{3};2\sqrt{3})\) степенного ряда совпадает с интервалом сходимости степенного ряда.
