Решение: исследуем на сходимость ряда \( \sum_1^\infty(-1)^n\frac{n^2+1}{n^3} \).
Алгоритм исследования знакопеременного ряда
Знакопеременный ряд \( \sum_{n=1}^{\infty}u_n\) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|\). Из сходимости абсолютно сходящегося ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|\) следует сходимость ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)
1. исследуем ряд на абсолютную сходимость
для этого составим ряд абсолютных величин \( \sum_1^\infty|(-1)^n\frac{n^2+1}{n^3}| = \sum_1^\infty \frac{n^2+1}{n^3}\) и применим
Интегральный признак Коши:
Пусть задан числовой ряд \(u_1+u_2+u_3+...+u_n+... \), \((u_n > 0)\), членами которого является функция натурального аргумента, т.е \(u_n = f(n)\). Пускай \(f(x)\) - положительная непрерывная функция, которая монотонно убывает в интервале \([1;\infty)\) при \(x \to \infty\).
Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)\) сходится, если сходится несобственный интеграл \(\int_1^{\infty}f(x)dx\) и расходится, если расходится этот интеграл.
Исследование ряда на сходимость:
запишем функцию \(f(x)\) путем замены в формуле \(u_n = f(n) = \frac{n^2+1}{n^3}\) натуральный аргумент \(n\) на непрерывный аргумент \(x\), получаем $$ f(x) = \frac{x^2+1}{x^3}$$ Функция \(f(x)\) положительная и монотонно убывающая в интервале \([1;\infty)\), поэтому для исследования на сходимость можем применить интегральный признак сходимости Коши
применяем интегральный признак сходимости Коши
Найдем несобственный интеграл $$\int_{1}^{\infty} \frac{x^2+1}{x^3}dx = \lim_{b \to \infty}\int_{1}^{b}(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3})dx = $$$$ = \lim_{b \to \infty}[ \ln(x)-\frac{1}{2}\frac{1}{x^2}|_{1}^{b}] = \lim_{b \to \infty}[ \ln(b)-\frac{1}{2}\frac{1}{b^2} - \ln(1)+\frac{1}{2}\frac{1}{1^2}]$$$$ = \ln(\infty)-\frac{1}{2}\frac{1}{\infty} - 0+\frac{1}{2} = \infty$$ Интеграл расходится, значит и ряд абсолютных величин расходится.
2. исследуем ряд на условную сходимость
если ряд абсолютных величин расходится, то для исследования на условную сходимость можно исследовать при помощи признака Лейбница:
если члены знакопеременного ряда \( \sum_{n=1}^{\infty}u_n\) начиная с некоторого, монотонно убывают по абсолютной величине \( |u_n| > |u_{n+1}|\) и общий член ряда \( \lim_{n \to \infty} u_n=0\), то ряд сходится. В этом случае ряд называется условно сходящимся.
Исследуем на монотонность
\(|u_n| = |(-1)^n\frac{n^2+1}{n^3}| = \frac{n^2+1}{n^3}\)
\(|u_{n+1}| = |(-1)^{n+1}\frac{(n+1)^2+1}{(n+1)^3}| = \frac{(n+1)^2+1}{(n+1)^3}\)
Сравниваем члены $$ \frac{n^2+1}{n^3} - \frac{(n+1)^2+1}{(n+1)^3} =( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) + (\frac{1}{n^3} - \frac{1}{(n+1)^3}) > 0=> |u_n| > |u_{n+1}|$$ ряд монотонно убывающий. Найдем предел общего члена ряда $$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+1}{n^3} = 0$$
Условия теоремы Лейбница выполнилось, ряд условно сходящийся.
Ответ: ряд \( \sum_1^\infty(-1)^n\frac{n^2+1}{n^3} \) сходится условно.
