Решение: исследуем ряд на сходимость \( \sum_1^\infty \frac{7n-1}{5^n(n+1)} \)
Для исследования на сходимость применим ряда признак Даламбера в предельной форме для рядов с положительными членами:
пусть задано числовой ряд \(u_1 + u_2 ... u_n ...\), если существует предел $$\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$$ то
при \( q < 1\) ряд сходится,
при \( q > 1\) расходится, а
при \( q = 1\) требуются дополнительные исследования ряда.
Запишем общий член \(u_n = \frac{7n-1}{5^n(n+1)} \) и член \(u_{n+1} = \frac{7(n+1)-1}{5^{n+1}(n+2+1)} = \frac{7n+6}{5^{n+1}(n+3)} \)
Найдем предел $$\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{7n+6}{5^{n+1}(n+3)}}{\frac{7n-1}{5^n(n+1)}} = $$$$ = \lim_{n \to \infty} \frac{7n+6}{5^{n+1}(n+3)} \frac{5^n(n+1)}{7n-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{7n+6}{5(n+3)} \frac{n+1}{7n-1} = $$ для нахождения предела нужно найти только коэффициенты при \(n\) в наибольшей степени, т.е. \(n^2\)$$ = \lim_{n \to \infty} \frac{7n^2 ....}{35n^2 ....} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}$$ получили предел \( q = \infty < 1\), т.е. ряд сходится.
Ответ: ряд \( \sum_1^\infty \frac{7n-1}{5^n(n+1)}\) - сходится.
