Решение: исследуем ряд на сходимость \( \sum_1^\infty \frac{1}{n(n+2)}\).
Для исследования применим интегральный признак Коши:
Пусть задан числовой ряд \(u_1+u_2+u_3+...+u_n+... \), \((u_n > 0)\), членами которого является функция натурального аргумента, т.е \(u_n = f(n)\). Пускай \(f(x)\) - положительная непрерывная функция, которая монотонно убывает в интервале \([1;\infty)\) при \(x \to \infty\).
Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)\) сходится, если сходится несобственный интеграл \(\int_1^{\infty}f(x)dx\) и расходится, если расходится этот интеграл.
Исследование ряда на сходимость:
1. запишем функцию \(f(x)\) путем замены в формуле \(u_n = f(n) = \frac{1}{n(n+2)}\) натуральный аргумент \(n\) на непрерывный аргумент \(x\), получаем $$ f(x) = \frac{1}{x(x+2)}$$ Функция \(f(x)\) положительная и монотонно убывающая в интервале \([1;\infty)\), поэтому для исследования на сходимость можем применить интегральный признак сходимости Коши
2. применяем интегральный признак сходимости Коши
Найдем несобственный интеграл $$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x(x+2)}dx = \lim_{b \to \infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x(x+2)}dx = $$ Представляем дробь \(\frac{1}{x(x+2)}\) в виде суммы двух дробей (для выполнения данного действия при его сложности применяют метод неопределенных коэффициентов) \(\frac{1}{x(x+2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2})\), подставляем в интеграл $$ = \lim_{b \to \infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{2}(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2})dx = \lim_{b \to \infty}\frac{1}{2}(\ln(x) - \ln(x+2))|_1^b = $$$$ = \frac{1}{2}\lim_{b \to \infty}\ln(\frac{x}{x+2})|_1^b = \frac{1}{2}\lim_{b \to \infty}(\ln(\frac{b}{b+2}) - \ln(\frac{1}{1+2})) =$$$$ = \frac{1}{2}[\ln(\frac{\infty}{\infty+2}) - \ln(\frac{1}{3})] = \frac{1}{2}[\ln(1) + \ln(3)]= \frac{\ln(3)}{2}$$ Интеграл сходится, значит и ряд расходится.
Ответ: ряд \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)}\) - сходится
Для исследования на сходимость ряда можно было применить признаки сравнения рядов в форме неравенств
Пусть дано два числовых ряда $$u_1+u_2+u_3+...+u_n+... , \quad (u_n > 0)$$$$v_1+v_2+v_3+...+v_n+... , \quad (v_n > 0)$$ при этом каждый член первого ряда не больше второго ряда \(u_n \leq v_n\), тогда из сходимости ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\) следует сходимость ряда \( \sum_{n=1}^{\infty}u_n\), а из расходимости ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\) следует расходимость ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)
Для сравнения рядов часто используют обобщенный гармонический ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\), который сходится, если \(p >1\) и расходится если \( p \leq 1\)
Сравнивать будем два ряда \( \sum_1^\infty \frac{1}{n(n+2)}\) и сходящийся ряд \( \sum_1^\infty \frac{1}{n^2}\). Видно, что \(\frac{1}{n(n+2)} < \frac{1}{n^2}\), если нужно доказать неравенство, то можно найти разность \(\frac{1}{n(n+2)} - \frac{1}{n^2} < 0 => \frac{n - n-2}{n^2(n+2)} < 0 => -\frac{2}{n^2(n+2)} < 0\) получили истинное неравенство. Применяем признак сравнения, получаем, что члены ряда \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)}\) меньше членов сходящегося ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) из этого следует сходимость ряда \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)}\)
Ответ: ряд \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)}\) - сходится
