Решение: решим линейное неоднородное уравнение второго порядка\( y''+4y=e^{-2x}\)
Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнение второго порядка
1. Решаем однородное уравнение \( y''+4y= 0\)
Решение будем искать в виде \(y = e^{λx}\), тогда \(y' = λe^{λx}; \quad y'' = λ^2e^{λx}\). Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение $$ λ^2e^{λx}+4e^{λx} = 0 =>$$ сокращаем на \(e^{λx}\), получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений)$$λ^2 + 4 = 0$$ найдем корни характеристического уравнения $$ λ_{1,2} = \pm 2i$$ Получили комплексные корни им соответствуют два решения $$y_{λ_1}(x) = e^{λ_1x} = e^{2ix} $$ фоспользуемся формулой Элера \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\), получаем $$ = \cos(2x)+i\sin(2x) = y_1(x) + iy_2(x)$$$$y_{λ_2}(x) = e^{λ_2x} = e^{-2ix} = \cos(2x)-i\sin(2x) = y_1(x) - iy_2(x)$$ Таким образом, корням характеристического уравнения соответствуют два линейно независимых решения \(y_1(x) = \cos(2x)\) и \(y_2(x) = \sin(2x)\). Общее решение однородного уравнения будет иметь вид $$y_{одн} = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)$$
2. Решаем неоднородное уравнение \( y''+4y=e^{-2x}\)
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, ищем методом вариации произвольной переменной постоянной \(C_1=C_1(x); \quad C_2=C_2(x)\) в виде \(y_{част}(x) = C_1(x)\cos(2x) + C_2(x)\sin(2x) \quad (1)\).
Для нахождения функций \(C_1(x);C_2(x)\), подставим результаты в систему $$ \begin{cases} C'_1(x)y_1(x)+C'_2(x)y_2(x) = 0\\ C'_1(x)y'_1(x)+C'_2(x)y'_2(x) = \frac{b(x)}{a_0(x)} \end{cases}$$ получаем $$ \begin{cases} C'_1(x)\cos(2x)+C'_2(x)\sin(2x) = 0\\ -2C'_1(x)\sin(2x)+2C'_2(x)\cos(2x) = e^{-2x} \end{cases} => $$ решаем систему уравнений методом Крамера. Найдем определители системы уравнений $$\triangle = \left|\begin{array}{c} \cos(2x) & \sin(2x)\\ -2\sin(2x) & 2\cos(2x) \end{array}\right|= 2$$ получили, что определитель системы не равен нулю, т.е. система уравнений имеет единственное решение
$$\triangle_1 = \left|\begin{array}{c} 0& \sin(2x)\\ e^{-2x} & 2\cos(2x) \end{array}\right|=$$$$ = 0 - e^{-2x}\sin(2x) = -e^{-2x}\sin(2x)$$
$$\triangle_2 = \left|\begin{array}{c} \cos(2x)& 0 \\ -2\sin(2x) & e^{-2x} \end{array}\right|=$$$$ = e^{-2x}\cos(2x) - 0 = e^{-2x}\cos(2x) $$
Находим решение системы уравненийц по формуле Крамера $$C'_1(x)= -\frac{1}{2}e^{-2x}\sin(2x)$$$$C'_2(x)= \frac{1}{2}e^{-2x}\cos(2x)$$ Интегрируем полученные решения системы уравнений и получим искомые функции $$C_1(x)= -\int \frac{1}{2}e^{-2x}\sin(2x)dx = \frac{1}{8}e^{-2x}(\cos(2x)+\sin(2x))+C_3$$
$$C_2(x)= \int \frac{1}{2}e^{-2x}\cos(2x)dx = \frac{1}{8}e^{-2x}(-cos(2x)+sin(2x)) +C_4$$ пусть \(C_3=0;C_4=0\)
Подставляем результат в (1) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения $$y_{неодн} = \frac{1}{8}e^{-2x}(\cos(2x)+\sin(2x))\cos(2x) + \frac{1}{8}e^{-2x}(-cos(2x)+sin(2x))\sin(2x) = $$$$ = \frac{1}{8}e^{-2x}(\cos^2(2x)+\sin(2x)\cos(2x) - cos(2x)\sin(2x)+sin^2(2x)) = \frac{1}{8}e^{-2x} =>$$$$y_{неодн} = \frac{1}{8}e^{-2x}$$
3. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида\(y_{об} = y_{одн} +y_{неодн} \)
подставляем результаты из п.1,п.2 $$y_{об} = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \frac{1}{8}e^{-2x}$$
Ответ: решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка $$y(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \frac{1}{8}e^{-2x}$$
