Решим дифференциальное уравнение: \(xy'=y\ln(\frac{y}{x}) \)
Решение:
Определение: однородные дифференциальные уравнения могут быть представлены в виде \(y' = f(\frac{y}{x})\) или \(M(x,y)dy + N(x,y)dy = 0\), где \(M(x,y)\) и \(NM(x,y)\) - однородные функции одинаковой степени. Для решения этих однородных дифференциальных уравнений применяется замена \(y = ux => dy = udx + xdu\) в результате получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Решаем дифференциальное уравнение: $$xy'=y\ln(\frac{y}{x})=>$$проведем преобразования этого дифференциального уравнения $$ \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\ln(\frac{y}{x})= >$$ это однородное дифференциальное уравнение первой степени вида \(y' = f(\frac{y}{x})\). Для решения дифференциального уравнения применяем замену \(y= ux => y' = u'x+u\), получаем $$ u'x+u = \frac{ux}{x}\ln(\frac{ux}{x}) => u'x+u = u\ln(u) =>$$$$ u'x = u(\ln(u)-1) => \frac{du}{dx}x = u(\ln(u)-1) =>$$ получили дифференциальное уравнение уравнение первой степени с разделяющимися переменными, решим его, разделим переменные (x и u перенесем а разные стороны уравнения) $$ \frac{du}{u(\ln(u)-1)} = \frac{dx}{x} =>$$ интегрируем обе части уравнения $$ \int \frac{du}{u(\ln(u)-1)} = \int \frac{dx}{x} => \int \frac{1}{\ln(u)-1}d(\ln(u)) = \ln(x) +\ln(C) => $$$$ \ln(\ln(u)-1) = \ln(xC)=> \ln(u)-1 = xC=>$$ Примени обратную замену \(y = ux => u = \frac{y}{x}\), получаем $$ \ln(\frac{y}{x})-1 = xC => e^{\ln(\frac{y}{x})} = e^{xC+1} =>$$$$ \frac{y}{x} = e^{xC+1} => y = xe^{xC+1} $$
Ответ: \( y = xe^{xC+1} \)
