Решение: найдем неопределенный интеграл $$ \int \frac{dx}{\sqrt{x}+2}$$ Применим метод замены независимой переменной.
Введем замену \(x = t^2 => dx = 2tdt\), подставляем замену в интеграл $$ \int \frac{dx}{\sqrt{x}+2} = \int \frac{2tdt}{t+2}= $$ введя замену мы избавились от иррациональности в знаменателе.
Выделим целую часть дроби $$ =2 \int \frac{t+2-2}{t+2}dt = 2 \int(1 - \frac{2}{t+2})dt =$$$$ = 2(t - 2\ln(t+2)) +C = $$ применяем обратную замену \(x = t^2 => t = \sqrt{x}\), получаем $$ = 2(\sqrt{x} - 2\ln(\sqrt{x}+2)) +C = 2\sqrt{x} - 4\ln(\sqrt{x}+2) +C$$
Ответ: \( \int \frac{dx}{\sqrt{x}+2} = 2\sqrt{x} - 4\ln(\sqrt{x}+2) +C\)
