Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя: $$ \lim_{x \to \infty}(\frac{x+3}{x+1})^{2x}$$
Решение:
Найдем предел $$ \lim_{х \to \infty}(\frac{x+3}{x+1})^{2x} = \lim_{x \to \infty}(\frac{x}{x}\frac{1+\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}})^{2x} =$$$$ = \lim_{x \to \infty}(\frac{1+\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}})^{2x}= 1^{\infty}$$ получили неопределенность вида \(1^{\infty}\). Данную неопределенность можно разрешать применяя метод приведения к форме второго замечательного предела .
Метод приведения к форме второго замечательного предела
Запишем второй замечательный предел $$\lim_{x \to 0}(1+ f(x))^\frac{1}{f(x)} = e$$
Проведем преобразования:
выделим целую часть дроби $$ \lim_{x \to \infty}(\frac{x+3}{x+1})^{2x} = \lim_{x \to \infty}(\frac{x+1+2}{x+1})^{2x} = \lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{2х} \quad (1)$$ Получили \(f(x) = \frac{2}{x+1}\), теперь в степени мы должны получить дробь вида \( \frac{1}{f(x)} = \frac{x+1}{2}\), степень \(2x\) приведем к этому виду $$2x = 4\frac{x+1-1}{2} = 4\frac{x+1}{2}-2$$ Подставляем в (1) $$ = \lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{4\frac{x+1}{2}-2} =$$ воспользуемся свойством сложения степеней \(a^{n+m} = a^m*a^n\) $$ = \lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{4\frac{x+1}{2}}*(1+\frac{2}{х+1})^{-2} = \lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{4\frac{x+1}{2}}*(\frac{x+1}{х+3})^2 = $$ воспользуемся свойством умножения степеней \(a^{nm} = (a^m)^n\)$$ = \lim_{х \to \infty}[(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4*(\frac{x+1}{х+3})^2 = \lim_{х \to \infty}[(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4*\lim_{х \to \infty}(\frac{x+1}{х+3})^2 = $$$$ = \lim_{х \to \infty}[(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4*1^2 = \lim_{х \to \infty}[(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4 = $$ Получили второй замечательный предел \( \lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}} = e \) т.е. получаем $$= [\lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4 = e^4$$
Ответ: \( \lim_{x \to \infty}(\frac{x+3}{x+1})^{2x}= e^4 \)
