Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя $$\lim_{x \to \infty}(\frac{x+3}{x+1})^{2x}$$

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя:

$$\lim_{x \to \infty}(\frac{x+3}{x+1})^{2x}$$
Решение:
Найдем предел  $$\lim_{х \to \infty}(\frac{x+3}{x+1})^{2x} =  \lim_{x \to \infty}(\frac{x}{x}\frac{1+\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}})^{2x}  =$$ $$= \lim_{x \to \infty}(\frac{1+\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}})^{2x}= 1^{\infty}$$ получили неопределенность вида $1^{\infty}$. Данную неопределенность можно разрешать применяя метод приведения к форме второго замечательного предела . 

Метод приведения к форме второго замечательного предела

Запишем второй замечательный предел

$$\lim_{x \to 0}(1+ f(x))^\frac{1}{f(x)} = e$$
Проведем преобразования:
выделим целую часть дроби $$\lim_{x \to \infty}(\frac{x+3}{x+1})^{2x} =   \lim_{x \to \infty}(\frac{x+1+2}{x+1})^{2x} = \lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{2х} \quad (1)$$ Получили $f(x) = \frac{2}{x+1}$, теперь в степени мы должны получить дробь вида $\frac{1}{f(x)} = \frac{x+1}{2}$, степень $2x$ приведем к этому виду $$2x =  4\frac{x+1-1}{2} = 4\frac{x+1}{2}-2$$ Подставляем в (1) $$=  \lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{4\frac{x+1}{2}-2}  =$$ воспользуемся свойством сложения степеней $a^{n+m} = a^m*a^n$ $$= \lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{4\frac{x+1}{2}}*(1+\frac{2}{х+1})^{-2} = \lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{4\frac{x+1}{2}}*(\frac{x+1}{х+3})^2 =$$  воспользуемся свойством умножения степеней $a^{nm} = (a^m)^n$ $$= \lim_{х \to \infty}[(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4*(\frac{x+1}{х+3})^2 = \lim_{х \to \infty}[(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4*\lim_{х \to \infty}(\frac{x+1}{х+3})^2 =$$ $$= \lim_{х \to \infty}[(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4*1^2 =  \lim_{х \to \infty}[(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4 =$$ Получили второй замечательный предел $\lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}} = e$ т.е. получаем $$= [\lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4 = e^4$$
Ответ: $\lim_{x \to \infty}(\frac{x+3}{x+1})^{2x}= e^4$