Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя: \lim_{x \to \infty}(\frac{x+3}{x+1})^{2x}
Решение:
Найдем предел \lim_{х \to \infty}(\frac{x+3}{x+1})^{2x} = \lim_{x \to \infty}(\frac{x}{x}\frac{1+\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}})^{2x} = = \lim_{x \to \infty}(\frac{1+\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}})^{2x}= 1^{\infty} получили неопределенность вида 1^{\infty}. Данную неопределенность можно разрешать применяя метод приведения к форме второго замечательного предела .
Метод приведения к форме второго замечательного предела
Запишем второй замечательный предел \lim_{x \to 0}(1+ f(x))^\frac{1}{f(x)} = e
Проведем преобразования:
выделим целую часть дроби \lim_{x \to \infty}(\frac{x+3}{x+1})^{2x} = \lim_{x \to \infty}(\frac{x+1+2}{x+1})^{2x} = \lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{2х} \quad (1) Получили f(x) = \frac{2}{x+1}, теперь в степени мы должны получить дробь вида \frac{1}{f(x)} = \frac{x+1}{2}, степень 2x приведем к этому виду 2x = 4\frac{x+1-1}{2} = 4\frac{x+1}{2}-2 Подставляем в (1) = \lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{4\frac{x+1}{2}-2} = воспользуемся свойством сложения степеней a^{n+m} = a^m*a^n = \lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{4\frac{x+1}{2}}*(1+\frac{2}{х+1})^{-2} = \lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{4\frac{x+1}{2}}*(\frac{x+1}{х+3})^2 = воспользуемся свойством умножения степеней a^{nm} = (a^m)^n = \lim_{х \to \infty}[(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4*(\frac{x+1}{х+3})^2 = \lim_{х \to \infty}[(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4*\lim_{х \to \infty}(\frac{x+1}{х+3})^2 = = \lim_{х \to \infty}[(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4*1^2 = \lim_{х \to \infty}[(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4 = Получили второй замечательный предел \lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}} = e т.е. получаем = [\lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4 = e^4
Ответ: \lim_{x \to \infty}(\frac{x+3}{x+1})^{2x}= e^4
