Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя \lim_{x \to \infty}(\frac{x+3}{x+1})^{2x}


0 Голосов
Милков Алекса
Posted Апрель 1, 2015 by Милков Александр
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 3641

 Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя. \lim_{x \to \infty}(\frac{x+3}{x+1})^{2x}

Теги: найти предел, найти предел не используя правило Лопиталя

Все ответы


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Апрель 6, 2015 by Вячеслав Моргун

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя: \lim_{x \to \infty}(\frac{x+3}{x+1})^{2x}


Решение:
Найдем предел   \lim_{х \to \infty}(\frac{x+3}{x+1})^{2x} =  \lim_{x \to \infty}(\frac{x}{x}\frac{1+\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}})^{2x}  =
= \lim_{x \to \infty}(\frac{1+\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}})^{2x}= 1^{\infty}
получили неопределенность вида 1^{\infty}. Данную неопределенность можно разрешать применяя метод приведения к форме второго замечательного предела . 


Метод приведения к форме второго замечательного предела


Запишем второй замечательный предел \lim_{x \to 0}(1+ f(x))^\frac{1}{f(x)} = e


Проведем преобразования:
выделим целую часть дроби   \lim_{x \to \infty}(\frac{x+3}{x+1})^{2x} =   \lim_{x \to \infty}(\frac{x+1+2}{x+1})^{2x} = \lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{2х} \quad (1)
Получили f(x) = \frac{2}{x+1}, теперь в степени мы должны получить дробь вида \frac{1}{f(x)} = \frac{x+1}{2}, степень 2x приведем к этому виду 2x =  4\frac{x+1-1}{2} = 4\frac{x+1}{2}-2
Подставляем в (1) =  \lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{4\frac{x+1}{2}-2}  =
воспользуемся свойством сложения степеней a^{n+m} = a^m*a^n = \lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{4\frac{x+1}{2}}*(1+\frac{2}{х+1})^{-2} = \lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{4\frac{x+1}{2}}*(\frac{x+1}{х+3})^2 = 
 воспользуемся свойством умножения степеней a^{nm} = (a^m)^n = \lim_{х \to \infty}[(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4*(\frac{x+1}{х+3})^2 = \lim_{х \to \infty}[(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4*\lim_{х \to \infty}(\frac{x+1}{х+3})^2 = 
= \lim_{х \to \infty}[(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4*1^2 =  \lim_{х \to \infty}[(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4 = 
Получили второй замечательный предел  \lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}} = e т.е. получаем = [\lim_{х \to \infty}(1+\frac{2}{х+1})^{\frac{x+1}{2}}]^4 = e^4

Ответ:  \lim_{x \to \infty}(\frac{x+3}{x+1})^{2x}= e^4