Решение: из куска провода длиной 50 см согнули прямоугольник наибольшей площади.
Эта задача на нахождение локального максимума (экстремума) вида "найти наибольшую площадь (объем, длину и т.д.)".
Решение задачи сводится к нахождению функции (в данном случае площади) от одной переменной, а далее действуем по алгоритму нахождения экстремума.
Решаем.
Площадь прямоугольника находится по формуле $$S=a*b$$ т.е. у нас две переменные. Нужно выразить одну переменную (сторону) через другую. Согласно условия задачи \(a+b=50 => a = 50-b\), тогда площадь прямоугольника будет равна $$S = (50-b)b= 50b-b^2$$
Получили функцию площади, зависящую от одной переменной \(b\) - парабола с осями, направленными вниз, т.е. критическая точка будет точкой максимума.
Теперь ищем локальный максимум (экстремум). Для этого находим производную от функции \(S(b)\) $$S' = ( (50-b)b)' = ( 50b-b^2)' = 50 - 2b$$ Приравниваем производную к нулю $$ 50 - 2b = 0 => b = 25$$ Подставляем полученное значение в формулу площади и находим прямоугольник с наибольшей площадью $$ b = 25 => a = 50-b = 25$$ Наибольшая площадь равна $$S = a*b=25*25 = 625$$
Ответ: прямоугольник наибольшей площади имеет стороны \(a=25;b=25\) и площадью \(S = 625\)
