Дано координати вершин трикутника А(-2; 0), В(2; 6), С(4; 2)
Знайти:
1) висоту ВD проведену на сторону АС
2) кут BAC
1. Рівняння висоти BD, опущеної з вершини \(B \) на сторону \(AC \).
Висота BD опущена з вершини B на сторону AC, тобто з умови завдання відома одна координата точки В(2; 6) і напрямок - пряма перпендикулярна прямий AC.
Скористаємося властивістю кутових коефіцієнтів перпендикулярних прямих: \(k_1 = - \frac{1}{k_2} \).
Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої сторони AC.
Рівняння сторони будемо шукати за допомогою формули рівняння прямої, що проходить через дві задані точки \( \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (1.1) \)
Підставляємо координати вершин:
рівняння сторони AC при відомих координатах вершини А(-2; 0), С(4; 2) $$ AC \quad \frac{x + 2}{4 + 2} = \frac{y-0}{2-0} => \quad y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} $$
Відповідь: рівняння сторони \(AC \): \( \quad y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \)
Отримали \( k_ {AC} = \frac{1}{3} => \) \(k_ {BD} = - \frac{1}{AC} = -3 \).
Знайдемо рівняння прямої BD, для цього скористаємося рівнянням прямої що проходить через задану точку В(2; 6) в заданому напрямку \(k_ {BD} = -3 \) $$ y - y_0 = k(x - x_0) \quad (1.2) $$ отримаємо $$ y - 6 = - 3 (x - 2) => \quad y = -3x + 12 $$
Відповідь: рівняння висоти BD: \( \quad y = -3x + 12 \)
2. кут \( \angle BAC \)
Кут \( \angle BAC \) - кут між прямими BA і AC - \( \angle BAC = \beta \) будемо шукати за формулою $$ tg \beta = | \frac{k_2-k_1}{1 + k_1k_2} | \quad (2) $$
\(k_1, k_2 \) - кутові коефіцієнти прямих BA і AC.
Кутовий коефіцієнт прямої AC дорівнює \(k_ {AC} = \frac{1}{3} \).
Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої BA. Рівняння прямої будемо шукати за допомогою формули рівняння прямої, що проходить через дві задані точки \( \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (1) \)
Підставляємо координати вершин:
рівняння сторони BA , при відомих координатах вершини А(-2; 0), В(2; 6) $$ AC \quad \frac{x + 2}{2 + 2} = \frac{y-0}{6-0} => \quad y = \frac{3}{2}x + 3 $$
Відповідь: рівняння сторони \(BA \) дорівнює: \( \quad y = \frac {3} {2} x + 3 \)
Кутовий коефіцієнт прямої \(k_ {BA} = \frac{3}{2} \), підставляємо в (2) $$ tg \alpha = | \frac {\frac{3}{2} - \frac{1}{3}} {1- \frac{3}{2} \frac{1}{3} } | = \frac{7}{3} => \quad \alpha \approx 66.8 ^ 0 $$
Відповідь : кут \( \angle BAC \) між прямими BA і AC дорівнює \( \angle \alpha \approx 66.8 ^ 0 \)
