Решение: найдем площадь фигуры, ограниченную кривыми y = x^2+1 и x+y = 3
Построим кривые:
1. y = x^2 +1 - уравнение параболы, проходящей через точку с координатами (0;1) с осями направленными вверх.
2. x+y = 3 = > y =3 - x - уравнение прямой.
Строим рисунок:
Нужно найти площадь криволинейной фигуры ABE

Вспомним геометрический смысл определенного интеграла: если фигура ограниченна кривыми y_1=g(x) и y_2=f(x), причем функция f(x) > g(x), то определенный интеграл S = \int_a^b[f(x) - g(x)]dx равен площади фигуры этой фигуры.
Согласно условия задачи y_2 = 3 - x; \quad y_1 = x^2 +1 , тогда искомая площадь фигуры ABE равна S_{ABE} = \int_D^C( 3 - x - x^2 - 1)dx = \int_D^C( 2 - x - x^2)dx
для нахождения интеграла нужно найти координаты x точек D и C. Это точки пересечения кривых, поэтому решим систему уравнений
\begin{cases} y = x^2 +1\\ y = 3 - x \end{cases} => \begin{cases} x_1 = -2; x_2 = 1\\ y = 3 - x \end{cases}
Подставляем координаты
x точек в интеграл
S_{BCE} = \int_{-2}^{ 1}( 2 - x - x^2 )dx =
Для нахождения определенного интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница
\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a), получаем
= ( 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3})|_{-2}^{1} = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 4 + 2 - \frac{8}{3} = 4.5
Ответ: площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x^2 + и x+y = 3 равна S_{ABE} = 4.5