Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями \( y=x^2+1, \quad x+y=3\)


1 Vote
Соколов Евген
Posted Март 22, 2015 by Соколов Евгений Вячеславович
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 2018

Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями \( y=x^2+1, \quad x+y=3\)

Теги: найти площадь фигуры ограниченную линиями, вычислить площадь плоских фигур

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Март 22, 2015 by Вячеслав Моргун

Решение: найдем площадь фигуры, ограниченную кривыми \( y = x^2+1\) и \( x+y = 3\)


Построим кривые:
1.  \( y = x^2 +1 \) - уравнение параболы, проходящей через точку с координатами (0;1) с осями направленными вверх.
2.  \( x+y = 3 = > y =3 - x \) - уравнение прямой. 
Строим рисунок:
Нужно найти площадь криволинейной фигуры \(ABE\)


площадь криволинейной фигуры


Вспомним геометрический смысл определенного интеграла: если фигура ограниченна кривыми \(y_1=g(x)\) и \(y_2=f(x)\), причем  функция \(f(x) > g(x)\), то определенный интеграл \(S = \int_a^b[f(x) - g(x)]dx\) равен площади фигуры этой фигуры.


Согласно условия задачи \(y_2 = 3 - x;  \quad y_1 = x^2 +1 \), тогда искомая площадь фигуры \(ABE\) равна $$S_{ABE} = \int_D^C( 3 - x - x^2 - 1)dx = \int_D^C( 2 - x - x^2)dx$$ для нахождения интеграла нужно найти координаты x точек D и C. Это точки пересечения кривых, поэтому решим систему уравнений $$\begin{cases} y = x^2 +1\\ y =  3 - x \end{cases} => \begin{cases} x_1 = -2; x_2 = 1\\ y =  3 - x \end{cases}  $$ Подставляем координаты \(x\) точек в интеграл $$S_{BCE} = \int_{-2}^{ 1}( 2 - x - x^2 )dx =$$  Для нахождения определенного интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница \(\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\), получаем  $$ = ( 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3})|_{-2}^{1} = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 4 + 2 - \frac{8}{3} = 4.5$$


Ответ: площадь фигуры, которая ограничена линиями \(y = x^2 + \) и \( x+y = 3 \) равна \(S_{ABE} = 4.5 \)