Решение: рассмотрим уравнение $$ y'-\frac{y}{x}=-2\frac{ \ln(x)}{x}, y(1)=1 $$ это неоднородное линейное уравнение первого порядка, решать которое будем методом вариации независимой переменной.
Схема решения неоднородное линейное уравнение первого порядка.
1. Решаем однородное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $$ y'-\frac{y}{x} = 0 => \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} => \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$$ проинтегрируем обе части уравнения $$ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x} => \ln(y) = \ln(x)+\ln(C) => y = xC \quad (1)$$
2. Представляем \(C = C(x)\).
Подставляем решение в дифференциальное уравнение и находим \(C(x)\)
находим производную $$y' = (xC(x))' = C(x) + xC'(x)$$ подставляем в дифференциальное уравнение $$ y'-\frac{y}{x}=-2\frac{ \ln(x)}{x} => C(x) + xC'(x)-\frac{xC(x)}{x}=-2\frac{\ln(x)}{x} =>$$$$ xC'(x) =-2\frac{\ln(x)}{x}=> C'(x) =-2\frac{\ln(x)}{x^2} =>$$ интегрируем обе части уравнения $$ \int dC(x) = -2 \int \frac{\ln(x)}{x^2}dx => C(x) = $$$$ = -2( -\frac{1}{x}\ln(x) - \frac{1}{x}) +C_1 = \frac{2\ln(x)}{x} + \frac{2}{x} +C_1$$
3. Получаем общее решение дифференциального уравнения, подставляем в (1)
$$ y = C(x)x = ( \frac{2\ln(x)}{x} + \frac{2}{x} +C_1)x =>$$$$ y = C_1x + 2\ln(x) + 2$$
4. Найдем честное решение, удовлетворяющее начальному условию \(y(1)=1\)
Подставим в решение дифференциального уравнения начальное условие и найдем значение константы \(C_1\). Подставляем $$ y(1) = C_1*1 + 2\ln(1) + 2 =1 => C_1= -1$$
Ответ: решение дифференциального уравнения \(y'-\frac{y}{x}=-2\frac{ \ln(x)}{x}\) удовлетворяющее начальному условию \(y(1)=1\) равно \( y = -x + 2\ln(x) + 2\)
