Решим дифференциальное уравнение: \((x^2-y^2)y'=2xy\)
Решение:
Определение: однородные дифференциальные уравнения могут быть представлены в виде \(y' = f(\frac{y}{x})\) или \(M(x,y)dy + N(x,y)dy = 0\), где \(M(x,y)\) и \(NM(x,y)\) - однородные функции одинаковой степени. Для решения этих однородных дифференциальных уравнений применяется замена \(y = ux => dy = udx + xdu\) в результате получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Решаем уравнение: $$(x^2-y^2)y'=2xy=>$$проведем преобразования этого дифференциального уравнения, разделим на \(x^2\) обе части уравнения, при этом будем считать, что \(x \ne 0\) (после получения общего решения дифференциального уравнения, проверяем, является ли x=0 - решением дифференциального уравнения ). $$ (1 -(\frac{y}{x})^2)y'=2\frac{y}{x}= >$$ это однородное дифференциальное уравнение первой степени вида \(y' = f(\frac{y}{x})\). Для решения дифференциального уравнения применяем замену \(y= ux => y' = u'x+u\), получаем $$ u'x+u =\frac{2\frac{ux}{x}}{1 -(\frac{ux}{x})^2)} => u'x+u =\frac{2u}{1 -u^2} =>$$$$ u'x =\frac{2u -u + u^3}{1 -u^2} => u'x =\frac{u + u^3}{1 -u^2}$$ получили дифференциальное уравнение первой степени с разделяющимися переменными, решим его, разделим переменные (x и u перенесем а разные стороны уравнения) $$ \frac{du}{dx}x = \frac{u + u^3}{1 -u^2} => \frac{1 -u^2}{u+u^3}du = \frac{dx}{x}$$ интегрируем обе части уравнения $$ \int \frac{1 -u^2}{u+u^3}du = \int \frac{dx}{x} +\ln(C) => $$$$ \int (\frac{1}{u} - \frac{2u}{1+u^2})du = \ln(x) +\ln(C) =>$$$$ \ln(u) - \int \frac{1}{1+u^2})d(1+u^2) = \ln(xC) => $$$$ \ln(u) - \ln(1+u^2) = \ln(xC) => $$$$ \ln(\frac{u}{1+u^2}) = \ln(xC) => \frac{u}{1+u^2} = xC => $$ применяем обратную замену \(y = ux => u = \frac{y}{x}\), получаем $$ \frac{\frac{y}{x}}{1+(\frac{y}{x})^2} = xC => \frac{y}{x^2+y^2} = C =>$$$$ y^2C -y+x^2C =0 => y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1-4x^2C^2}}{2C} => $$$$y_{1,2} = \frac{1}{2}( \frac{1}{C} \pm \sqrt{\frac{1}{C^2}-4x^2}) $$
Не забываем проверять, является ограничение \(x = 0\) решением дифференциального уравнения, подставляем и видим, что \(x = 0\) является решением.
Ответ: общее решение дифференциального уравнения \((x^2-y^2)y'=2xy\) имеет вид \( y_{1,2} = \frac{1}{2}( \frac{1}{C} \pm \sqrt{\frac{1}{C^2}-4x^2}) \)
