Решение: найдем интеграл \(\int\frac{1}{(1-x^2)*\sqrt{1-x^2}}dx\).
Под знаком интеграла дробно-линейная иррациональная функция.
Интеграл вида \(\int R(x, \sqrt[k]{\frac{ax+b}{cd+d}})dx\), где
1. \(\frac{a}{c} \ne \frac{b}{d}\),
2. \(k\) - натуральное число
3. \(R\) - рациональная функция \(R(x)\).
Интегралы данного вида решаются методом подстановки \(\sqrt[k]{\frac{ax+b}{cd+d}} = t\) , эта подстановка приводит к тому, что мы избавляемся от иррациональности и находим интеграл от рациональной функции от переменной \(t\).
Находим интеграл $$ \int\frac{1}{(1-x^2)*\sqrt{1-x^2}}dx = $$ преобразуем подынтегральную функцию к виду \(R(x, \sqrt[k]{\frac{ax+b}{cd+d}})\) $$ = \int\frac{1}{(1-x^2)*\sqrt{(1-x)(1+x)}}dx = \int\frac{1}{(1-x^2)(1-x)}*\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx = $$ подынтегральная функция удовлетворяет требованиям п.1-п.3.
Применяем замену \( \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = t => \frac{1-x}{1+x} = t^2 => \)
\( x = \frac{1-t^2}{1+t^2} => dx =-\frac{4t}{(1+t^2)^2}dt\) подставляем замену в интеграл $$ = \int \frac{1}{(1-(\frac{1-t^2}{1+t^2})^2)(1-\frac{1-t^2}{1+t^2})}*t(-\frac{4t}{(1+t^2)^2})dt= -\int \frac{(1+t^2)^3}{4t^2*2t^2}*t\frac{4t}{(1+t^2)^2}dt= $$$$ = -\int \frac{1+t^2}{2t^2}dt=-\frac{1}{2}\int( \frac{1}{t^2}+1)dt=-\frac{1}{2}(- \frac{1}{t}+t)+C $$ применяем обратную замену \(t = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\), получаем $$ = -\frac{1}{2}(- \frac{1}{t}+t)+C = -\frac{1}{2}\frac{t^2 - 1}{t}+C = $$$$ = -\frac{1}{2}\frac{ \frac{1-x}{1+x} - 1}{ \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}+C = \frac{x}{1+x} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+C =\frac{x}{ \sqrt{1-x^2}}+C$$
Ответ: интеграл от дробно-линейной иррациональной функции равен \(\int\frac{1}{(1-x^2)*\sqrt{1-x^2}}dx = \frac{x}{ \sqrt{1-x^2}}+C\)
