Исследуем функцию \( у = (x^2-2x-2)e^x \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции $$D_f=(-\infty;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва т.е. ОДЗ \(x \in R\).
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = ((-x)^2-2(-х)-2)e^{-х}\) функция является нечетной и ни нечетной, т.е. функция симметрий не имеет.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \( (x^2-2х-2)e^х = 0 => x_1 = 1 -\sqrt{3}; x_2 =1 +\sqrt{3}\) , т.е кривая пересекает ось Ox в точках с координатами \(( 1 - \sqrt{3} ;0);( 1 + \sqrt{3} ;0)\)
точка пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(x=0\), \(y = (x^2-2х-2)e^х=> y =-2\), точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0;-2)
Интервалы знакопостоянства функции. Получили точки пересечения с осью Ox с координатами \(( 1 - \sqrt{3} ;0);( 1 + \sqrt{3} ;0)\), они разделили ось на три интервала знакопостоянства функции. Рассматриваем интервал знакопостоянства на исследуемых интервалах
интервал \((-\infty; 1 - \sqrt{3})\) найдем значение функции в любой точке \(f(-1) = (x^2-2х-2)e^х > 0 \), т.е. на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
интервал \(( 1 - \sqrt{3}; 1 + \sqrt{3})\) найдем значение функции в любой точке \(f(0) = (x^2-2х-2)e^х < 0 \), т.е. на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \(( 1 + \sqrt{3}; +\infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(3) = (x^2-2х-2)e^х > 0 \), т.е. на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( (x^2-2х-2)e^х)' = e^x (x^2-4)$$ приравняем к 0 $$ e^x (x^2-4) = 0 => x_{1,2} = \pm 2$$ функция имеет две критические (стационарные) точки, т.е. две точки возможного экстремума функции. Эти точки делят область определения на три интервала монотонности. Определим монотонность функции на этих интервалах
интервал \((-\infty; -2)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-3) = e^x (x^2-4) > 0\), т.е. на этом интервале функция возрастает.
интервал \((-2; 2)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0) = e^x (x^2-4) < 0\), т.е. на этом интервале функция убывает.
интервал \((2;+\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(3) = e^x (x^2-4) > 0\), т.е. на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
При исследовании получили на исследуемом интервале две критические (стационарные) точки , определим, является ли они экстремумами. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критические точки
точка \(x= -2\) производная меняет знак с \( \quad + \quad 0 \quad - \quad\) - точка максимума. Координаты точки максимума \(f(-2) \approx 0.81\), получаем координаты (-2;0.81)
точка \(x= 2\) производная меняет знак с \( \quad - \quad 0 \quad + \quad\) - точка минимума. Координаты точки минимума \(f(2) \approx -14.78\), получаем координаты (2; -14.78)
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (e^x (x^2-4))' = e^x (x^2+2x-4)$$ Приравняем к нулю $$ e^x(x^2+2x-4) = 0 => x_{1,2} =- 1 \pm \sqrt{5}$$
Для анализа этих точек рассмотрим три интервала выпуклости
интервал \((-\infty; - 1 - \sqrt{5})\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-5) = e^x(x^2+2x-4) > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((- 1 - \sqrt{5}; - 1 + \sqrt{5})\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0) = e^x(x^2+2x-4) < 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \(( - 1 + \sqrt{5};+\infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(5) = e^x(x^2+2x-4) > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
В точке \(x = -1 - \sqrt{5}\) вторая производная меняет знак с \( \quad + \quad 0 \quad - \quad\), график функции меняет выпуклость,т.е. это точка перегиба с координатами \(( -3.23;0.59)\).
В точке \(x = -1 + \sqrt{5} \) вторая производная меняет знак с \( \quad - \quad 0 \quad + \quad\), график функции меняет выпуклость, т.е. это точка перегиба с координатами \(( 1.24; -10.13)\).
7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции не имеет вертикальных асимптот, т.к. ОДЗ \(x \in R\)
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y = (x^2-2x-2)e^x \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{ (x^2-2x-2)e^x}{x} = \infty => k= \infty $$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ Т.к. первый предел равен \(\infty\), второй искать не нужно. Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty} (x^2-2x-2)e^x = \infty$$Получили, что график функции горизонтальную асимптоту не имеет.
8. Построить график функции.
